3{ }^{\text {a }} Questão ( 50 pontos) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique sua resposta! \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n+2}{n}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n+2}{n}
é convergente ou divergente. Informação dada: o termo geral da série é
a_n = (-1)^{n-1}\frac{n+2}{n}.
O objetivo é justificar a conclusão.
Passo 2
Escrevendo o termo de forma mais explícita, observe que
\frac{n+2}{n}=1+\frac{2}{n},
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a_n = (-1)^{n-1}\left(1+\frac{2}{n}\right).
Então o termo geral é uma sequência oscilante cujo módulo tende para 1, pois
Calcule o limite do termo geral ou examine seu comportamento quando n\to\infty. Note que os dois subgrupos de índices dão limites diferentes:
para n ímpar, a_n tende a +1 (pois (-1)^{n-1}=+1 e 1+2/n\to1);
para n par, a_n tende a -1 (pois (-1)^{n-1}=-1 e 1+2/n\to1).
Portanto a sequência (a_n) não converge para 0; de fato ela não tem limite (oscila entre valores próximos de +1 e -1).
Passo 4
Apresente o teste usado: o teste necessário para convergência de séries (teste do termo geral) diz que, se
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge, então o termo geral deve satisfazer
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Este é um requisito necessário (mas não suficiente). Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 ou não existe, a série diverge.
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral ao nosso caso: como visto no Passo 3, \lim_{n\to\infty} a_n não existe e, em particular, não é 0. Logo a condição necessária para convergência não é satisfeita. Portanto a série diverge.
Passo 6
Podemos também escrever a série como soma de duas:
Aqui a primeira soma \sum(-1)^{n-1} tem termos que não tendem a zero (os seus somatórios parciais oscilam entre 1 e 0), portanto diverge. A segunda soma é uma série alternada com termos 2/n que tendem a zero e é convergente (critérios de Leibniz), mas a soma de uma série divergente com uma convergente é divergente. Essa visão alternativa confirma o resultado do teste do termo geral.