Questão ( 15 pontos) Expresse o número
como uma razão de inteiros.
Passo 1
O enunciado pede para expressar o número periódico
na forma de uma razão de inteiros (ou seja, como uma fração
com
,
).
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- A expansão decimal é
. - O bloco que se repete é
(dois dígitos).
Passo 2
Escolher um método: como o período tem comprimento
(dois dígitos:
e
), o método mais direto é colocar a parte decimal igual a uma variável
, multiplicar por
para deslocar o período e então subtrair para eliminar a parte periódica. Este é o método algébrico clássico e é prático de aplicar sem calculadora.
Passo 3
Definir a variável que representa o número periódico. Seja
Aqui
é exatamente o número que queremos escrever como razão de inteiros.
Passo 4
Como o período tem
dígitos, multiplicamos
por
para deslocar a vírgula duas casas, obtendo uma expressão onde a parte decimal periódica é a mesma de
:
Observe que tanto
quanto
têm a mesma sequência decimal periódica
.
Passo 5
Subtrair a equação original da equação escalonada para eliminar a parte periódica. Fazendo
temos
No lado direito, os infinitos dígitos periódicos cancelam, sobrando apenas
. Portanto
Passo 6
Isolar
:
Agora verificar se a fração pode ser simplificada: calcular o máximo divisor comum entre
e
. Fazendo a conta rápida (ou usando algoritmo de Euclides):
logo
. Portanto a fração
já está na forma irredutível.
Passo 7
Checagem rápida (intuição): multiplicando
por
deve devolver
, e dividir
por
por divisão longa produz a repetição
, confirmando que a conversão está correta.