2^{\underline{\mathrm{a}}} Questão ( 15 pontos) Expresse o número 0,52=0,52525252 \cdots como uma razão de inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para expressar o número periódico 0,52 = 0,52525252\ldots na forma de uma razão de inteiros (ou seja, como uma fração \dfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q\neq0).
Informações dadas e relevantes:
  • A expansão decimal é 0,52525252\ldots.
  • O bloco que se repete é 52 (dois dígitos).

Passo 2

Escolher um método: como o período tem comprimento 2 (dois dígitos: 5 e 2), o método mais direto é colocar a parte decimal igual a uma variável x, multiplicar por 10^{2}=100 para deslocar o período e então subtrair para eliminar a parte periódica. Este é o método algébrico clássico e é prático de aplicar sem calculadora.

Passo 3

Definir a variável que representa o número periódico. Seja
x = 0,52525252\ldots
Aqui x é exatamente o número que queremos escrever como razão de inteiros.

Passo 4

Como o período tem 2 dígitos, multiplicamos x por 100 para deslocar a vírgula duas casas, obtendo uma expressão onde a parte decimal periódica é a mesma de x:
100x = 52,52525252\ldots
Observe que tanto 100x quanto x têm a mesma sequência decimal periódica ,525252\ldots.

Passo 5

Subtrair a equação original da equação escalonada para eliminar a parte periódica. Fazendo 100x - x temos
100x - x = 52,52525252\ldots - 0,52525252\ldots
No lado direito, os infinitos dígitos periódicos cancelam, sobrando apenas 52. Portanto
99x = 52.

Passo 6

Isolar x:
x = \dfrac{52}{99}.
Agora verificar se a fração pode ser simplificada: calcular o máximo divisor comum entre 52 e 99. Fazendo a conta rápida (ou usando algoritmo de Euclides):
99 = 1\cdot52 + 47,\quad 52 = 1\cdot47 + 5,\quad 47 = 9\cdot5 + 2,\quad 5 = 2\cdot2 +1,\quad 2=2\cdot1+0,
logo \gcd(52,99)=1. Portanto a fração \dfrac{52}{99} já está na forma irredutível.

Passo 7

Checagem rápida (intuição): multiplicando x por 99 deve devolver 52, e dividir 52 por 99 por divisão longa produz a repetição 0,525252\ldots, confirmando que a conversão está correta.

Resposta

\dfrac{52}{99}

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