A relação para a energia total E e momento p para uma partícula relativística é E^{2}=(p c)^{2}+\left(m c^{2}\right)^{2}, onde m é a massa e c é a velocidade da luz. Usado as relações E=\hbar \omega e p=\hbar k, onde \omega é a frequência angular e k o número de onda, mostre que o produto da velocidade de grupo v_{g} de uma onda e a velocidade de fase v_{f} é igual a c^{2}, ou seja, v_{g} v_{f}=c^{2}. Analise este resultado e verifique que a velocidade de fase é sempre maior do que c. Examine se há alguma inconsistência neste resultado. Explique seu raciocínio.

Passo 1

O enunciado parte da relação relativística
E^{2}=(p\,c)^{2}+\bigl(m\,c^{2}\bigr)^{2}
e usa a dualidade onda-partícula, onde
E=\hbar\,\omega \quad\text{e}\quad p=\hbar\,k.
Pede-se que mostremos que, definindo a velocidade de fase
v_{f}=\frac{\omega}{k}
e a velocidade de grupo
v_{g}=\frac{d\omega}{dk},
temos
v_{g}\,v_{f}=c^{2},
que v_{f}>c e que isso não gera inconsistência com a relatividade.

Passo 2

Substituindo E=\hbar\omega e p=\hbar\,k em
E^{2}=(p\,c)^{2}+\bigl(m\,c^{2}\bigr)^{2}
obtemos
(\hbar\,\omega)^{2}=(\hbar\,k\,c)^{2}+(m\,c^{2})^{2} \quad\Longrightarrow\quad \omega^{2}=c^{2}\,k^{2}+\Bigl(\frac{m\,c^{2}}{\hbar}\Bigr)^{2}.
Essa é a relação de dispersão relativística.

Passo 3

A velocidade de fase é
v_{f}=\frac{\omega}{k} =\frac{1}{k}\,\sqrt{c^{2}k^{2}+\bigl(\tfrac{m\,c^{2}}{\hbar}\bigr)^{2}} =c\,\sqrt{1+\Bigl(\frac{m\,c}{\hbar\,k}\Bigr)^{2}}.
Como o termo sob a raiz é maior que 1 para m>0, conclui-se que
v_{f}>c.

Passo 4

A velocidade de grupo é a derivada de \omega(k):
v_{g}=\frac{d\omega}{dk} =\frac{d}{dk}\Bigl[\bigl(c^{2}k^{2}+(m\,c^{2}/\hbar)^{2}\bigr)^{1/2}\Bigr] =\frac{c^{2}\,k}{\omega}.

Passo 5

Calculando o produto
v_{g}\,v_{f} =\Bigl(\frac{c^{2}\,k}{\omega}\Bigr)\,\Bigl(\frac{\omega}{k}\Bigr) =c^{2}.

Passo 6

Embora v_{f}>c, isso não contradiz a relatividade porque nenhuma informação ou energia viaja à velocidade de fase. A grandeza física relevante para transporte de sinais é a velocidade de grupo v_{g}, que satisfaça
v_{g}=\frac{c^{2}}{v_{f}}<c
sempre que m>0. Logo, não há inconsistência.

Resposta

v_{g}\,v_{f}=c^{2}, \quad v_{f}>c,
sem gerar contradição pois apenas v_{g} (e não v_{f}) está associado ao transporte de informação e fica abaixo de c.

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