A relação para a energia total
e momento
para uma partícula relativística é
, onde
é a massa e
é a velocidade da luz. Usado as relações
e
, onde
é a frequência angular e
o número de onda, mostre que o produto da velocidade de grupo
de uma onda e a velocidade de fase
é igual a
, ou seja,
. Analise este resultado e verifique que a velocidade de fase é sempre maior do que
. Examine se há alguma inconsistência neste resultado. Explique seu raciocínio.
Passo 1
O enunciado parte da relação relativística
e usa a dualidade onda-partícula, onde
Pede-se que mostremos que, definindo a velocidade de fase
e a velocidade de grupo
temos
que
e que isso não gera inconsistência com a relatividade.
Passo 2
Substituindo
e
em
obtemos
Essa é a relação de dispersão relativística.
Passo 3
A velocidade de fase é
Como o termo sob a raiz é maior que 1 para
, conclui-se que
Passo 4
A velocidade de grupo é a derivada de
:
Passo 5
Calculando o produto
Passo 6
Embora
, isso não contradiz a relatividade porque nenhuma informação ou energia viaja à velocidade de fase. A grandeza física relevante para transporte de sinais é a velocidade de grupo
, que satisfaça
sempre que
. Logo, não há inconsistência.
Resposta
sem gerar contradição pois apenas
(e não
) está associado ao transporte de informação e fica abaixo de
.