Assunto: Integrais de Linha
Calcule a integral de linha em que F(x, y, z)=e^{x} i+e^{y} j+e^{z} k; em que C é dada pela função vetorial
[
r(t)=t i+t^{2} j+t^{3} k no intervalo 0 \leq t \leq 2 .
]

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de F(x,y,z)=e^{x}\,\mathbf{i}+e^{y}\,\mathbf{j}+e^{z}\,\mathbf{k} ao longo da curva C dada por
r(t) = t\,\mathbf{i} + t^{2}\,\mathbf{j} + t^{3}\,\mathbf{k}, \quad 0 \le t \le 2.
O conteúdo é integração de linha de campo vetorial e vamos usar parametrização e produto escalar.

Passo 2

Parametrizamos C por r(t). Então
r'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t,\,t^{2},\,t^{3}\bigr) = \bigl(1,\,2t,\,3t^{2}\bigr).

Passo 3

Substituímos na força F:
F\bigl(r(t)\bigr) = \bigl(e^{t},\,e^{t^{2}},\,e^{t^{3}}\bigr).

Passo 4

O integrando é o produto escalar
F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t) = e^{t}\cdot 1 \;+\; e^{t^{2}}\cdot(2t)\;+\; e^{t^{3}}\cdot(3t^{2}) = e^{t} + 2t\,e^{t^{2}} + 3t^{2}\,e^{t^{3}}.

Passo 5

Repare que
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t} + e^{t^{2}} + e^{t^{3}}\bigr) = e^{t} + 2t\,e^{t^{2}} + 3t^{2}\,e^{t^{3}},
logo o integrando é uma derivada exata.

Passo 6

Portanto
\int_{0}^{2}\bigl[e^{t} + 2t\,e^{t^{2}} + 3t^{2}\,e^{t^{3}}\bigr]\,dt = \Bigl[e^{t} + e^{t^{2}} + e^{t^{3}}\Bigr]_{0}^{2} = \bigl(e^{2} + e^{4} + e^{8}\bigr) - \bigl(1 + 1 + 1\bigr).

Resposta

A integral de linha vale
e^{2} + e^{4} + e^{8} \;-\; 3.

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