Um asteróide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 15 \mathrm{~km} / \mathrm{s} em relação ao planeta quando está a uma distância de 12 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o astéroide, determine a velocidade do asteróide, v f, ao atingir a superfície da Terra.
Dados: massa da terra é 5,98 \times 10^{24} \mathrm{Kg}; raio da terra é 6,37 \times 10^{6} \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do asteróide ao atingir a superfície da Terra, chamada de v_f, sabendo que ele tem velocidade inicial 15\\ \mathrm{km/s} quando está a uma distância de 12 raios terrestres do centro da Terra.
Dados fornecidos (listei e converti unidades quando necessário):
M_{\text{Terra}} = 5{,}98\times10^{24}\\ \mathrm{kg},
R_{\text{Terra}} = 6{,}37\times10^{6}\\ \mathrm{m},
velocidade inicial v_i = 15\\ \mathrm{km/s} = 1{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{m/s},
distância inicial do centro r_i = 12\,R_{\text{Terra}}.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como desprezamos a atmosfera e não há perda de energia por atrito, a energia mecânica total do asteróide (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada.
  • Energia cinética de um corpo de massa m: \displaystyle K=\tfrac{1}{2}m v^{2}. Aqui m é a massa do asteróide e v sua velocidade.
  • Energia potencial gravitacional, no campo de uma massa M (a Terra), a uma distância r do centro: \displaystyle U=-\frac{G M m}{r}. Aqui G é a constante gravitacional universal, M é a massa da Terra, m a massa do asteróide e r a distância ao centro da Terra.
    Observação: a massa m do asteróide aparece em todos os termos e irá cancelar — não precisamos do seu valor.

Passo 3

Escrevendo conservação da energia entre o instante inicial (índice i) e o instante final sobre a superfície (raio R):
\frac{1}{2}m v_i^{2} - \frac{G M m}{r_i} \;=\; \frac{1}{2}m v_f^{2} - \frac{G M m}{R}.
Agora isolamos v_f. Primeiro cancele m (não nulo) e passe os termos:
\frac{1}{2}v_f^{2} = \frac{1}{2}v_i^{2} + G M\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_i}\right).
Multiplicando por 2:
v_f^{2} = v_i^{2} + 2 G M\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_i}\right).
Portanto
v_f = \sqrt{\,v_i^{2} + 2 G M\!\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r_i}\right)\,}.
Isso é bom porque é uma fórmula direta: soma da energia cinética inicial com a variação de energia potencial convertida em velocidade.

Passo 4

Simplificações numéricas úteis: como r_i = 12 R,
\frac{1}{R}-\frac{1}{r_i}=\frac{1}{R}-\frac{1}{12R}=\frac{11}{12}\cdot\frac{1}{R}.
Substituindo na expressão de v_f^{2}:
v_f^{2} = v_i^{2} + 2 G M \cdot \frac{11}{12}\cdot\frac{1}{R} = v_i^{2} + \frac{11}{6}\cdot\frac{G M}{R}.
Isto reduz bastante a conta: basta calcular \dfrac{G M}{R} e multiplicar por \dfrac{11}{6}.

Passo 5

Valor de G (constante gravitacional): vou usar \displaystyle G=6{,}674\times10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}} (valor padrão). Calculemos G M:
G M = (6{,}674\times10^{-11})\times(5{,}98\times10^{24}) \approx 3{,}99\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
Agora calculemos \dfrac{G M}{R}:
\frac{G M}{R} \approx \frac{3{,}99\times10^{14}}{6{,}37\times10^{6}} \approx 6{,}27\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 6

Multiplicando por \dfrac{11}{6}:
\frac{11}{6}\cdot\frac{G M}{R} \approx \frac{11}{6}\times 6{,}27\times10^{7} \approx 1{,}15\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.

Passo 7

Agora v_i^{2}=(1{,}5\times10^{4})^{2}=2{,}25\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}. Somando:
v_f^{2} \approx 2{,}25\times10^{8} + 1{,}15\times10^{8} = 3{,}40\times10^{8}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Tirando raiz quadrada:
v_f \approx \sqrt{3{,}40\times10^{8}}\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}84\times10^{4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Interpretação e unidades finais: convertendo para \mathrm{km/s},
v_f \approx 1{,}84\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} = 18{,}4\\ \mathrm{km/s}.
Boa notícia: o asteróide aumenta sua velocidade ao cair, de 15\\ \mathrm{km/s} para cerca de 18{,}4\\ \mathrm{km/s}. Mantém as ordens de grandeza esperadas — faz sentido físico.

Resposta

v_f \approx 1{,}84\times10^{4}\\ \mathrm{m/s} = 18{,}4\\ \mathrm{km/s}

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