Um asteróide, em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de
em relação ao planeta quando está a uma distância de 12 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o astéroide, determine a velocidade do asteróide,
, ao atingir a superfície da Terra.
Dados: massa da terra é
; raio da terra é
Dados: massa da terra é
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade do asteróide ao atingir a superfície da Terra, chamada de
, sabendo que ele tem velocidade inicial
quando está a uma distância de
raios terrestres do centro da Terra.
Dados fornecidos (listei e converti unidades quando necessário):
Dados fornecidos (listei e converti unidades quando necessário):
velocidade inicial
,
distância inicial do centro
distância inicial do centro
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática): como desprezamos a atmosfera e não há perda de energia por atrito, a energia mecânica total do asteróide (energia cinética + energia potencial gravitacional) é conservada.
- Energia cinética de um corpo de massa
: . Aqui é a massa do asteróide e sua velocidade. - Energia potencial gravitacional, no campo de uma massa
(a Terra), a uma distância do centro: . Aqui é a constante gravitacional universal, é a massa da Terra, a massa do asteróide e a distância ao centro da Terra.
Observação: a massado asteróide aparece em todos os termos e irá cancelar — não precisamos do seu valor.
Passo 3
Escrevendo conservação da energia entre o instante inicial (índice
) e o instante final sobre a superfície (raio
):
Agora isolamos
. Primeiro cancele
(não nulo) e passe os termos:
Multiplicando por
:
Portanto
Isso é bom porque é uma fórmula direta: soma da energia cinética inicial com a variação de energia potencial convertida em velocidade.
Passo 4
Simplificações numéricas úteis: como
,
Substituindo na expressão de
:
Isto reduz bastante a conta: basta calcular
e multiplicar por
.
Passo 5
Valor de
(constante gravitacional): vou usar
(valor padrão). Calculemos
:
Agora calculemos
:
Passo 6
Multiplicando por
:
Passo 7
Agora
. Somando:
Tirando raiz quadrada:
Passo 8
Interpretação e unidades finais: convertendo para
,
Boa notícia: o asteróide aumenta sua velocidade ao cair, de
para cerca de
. Mantém as ordens de grandeza esperadas — faz sentido físico.