O pico da distribuição espectral da potência irradiada por um pequeno forno à temperatura de T_{1}=1503,8 \mathrm{~K} ocorre para o comprimento de onda de \lambda_{1}. A temperatura da cavidade é aumentada para T_{2} até que a potência total irradiada seja 1,0 vezes do valor na temperatura T_{1}. Considerando este forno como um corpo negro, qual é o novo comprimento de onda ( \lambda_{2} ) do pico da distrbuição espectral?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor 3,45 \times 10^{-5}=3,45 E-5.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes:
\lambda_{\text {max }} . T=2,898 \times 10^{-3} m . K
R=\sigma T^{4}, onde \sigma=5,6704 \times 10^{-8} W . m^{-2} . K^{-4}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o novo comprimento de onda do pico da distribuição espectral, chamado \lambda_{2}, depois que a temperatura da cavidade é elevada de T_{1}=1503,8\\ \mathrm{K} para uma nova temperatura T_{2} tal que a potência total irradiada na nova temperatura seja 1,0 vezes a potência total na temperatura T_{1}.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado:
T_{1}=1503,8\\ \mathrm{K}.
O enunciado também fornece duas leis que podemos usar:
\lambda_{\text{max}}\cdot T = 2,898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K},
que relaciona o comprimento de onda do pico com a temperatura (constante de Wien), e
R=\sigma T^{4},\quad \sigma=5,6704\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}},
que dá a potência total radiada por unidade de área (lei de Stefan–Boltzmann).
Observação: o enunciado diz que a potência total na nova temperatura é 1,0 vezes a potência na temperatura inicial — isto é, o fator de mudança da potência é 1,0.

Passo 2

Entendendo como usar a lei de Stefan–Boltzmann para relacionar T_{2} com T_{1}.
A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência total por unidade de área de um corpo negro é proporcional a T^{4}:
R=\sigma T^{4}.
Seja R_{1}=\sigma T_{1}^{4} a potência na temperatura T_{1} e R_{2}=\sigma T_{2}^{4} a potência na temperatura T_{2}. O enunciado diz que
R_{2}=1,0\cdot R_{1}.
Substituindo as expressões:
\sigma T_{2}^{4}=1,0\cdot (\sigma T_{1}^{4}).
Cancelando \sigma dos dois lados (porque é a mesma constante):
T_{2}^{4}=1,0\cdot T_{1}^{4}.

Passo 3

Agora isolamos T_{2}. Tomando a raiz quarta em ambos os lados:
T_{2}=(1,0)^{1/4}\cdot T_{1}.
Qual é (1,0)^{1/4}? Como 1,0 é exatamente 1, qualquer potência de 1 continua 1. Assim
(1,0)^{1/4}=1.
Logo
T_{2}=1\cdot T_{1}=T_{1}.
Em valores numéricos, usando o dado do enunciado,
T_{2}=1503,8\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Usando a lei de Wien para relacionar \lambda_{2} e \lambda_{1}.
A lei de Wien afirma que o produto do comprimento de onda do pico pela temperatura é constante:
\lambda_{\text{max}}\cdot T = 2,898\times 10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Para as duas situações (antes e depois):
\lambda_{1}\,T_{1}=2,898\times 10^{-3},
\lambda_{2}\,T_{2}=2,898\times 10^{-3}.
Dividindo a segunda pela primeira (ou simplesmente usando proporcionalidade) obtemos:
\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\frac{T_{1}}{T_{2}}.
Como vimos no Passo 3, T_{2}=T_{1}. Portanto
\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\frac{T_{1}}{T_{1}}=1.
Logo
\lambda_{2}=\lambda_{1}.

Passo 5

Interpretação física curta e dica para prova: como a potência total varia como T^{4}, para que a potência final seja exatamente igual à inicial (fator 1,0) a temperatura não precisa mudar; consequentemente o pico da distribuição espectral, que depende inversamente da temperatura via a lei de Wien, também não muda. Se na prova pedirem um caso em que a potência, por exemplo, dobrasse ( R_{2}=2,0 R_{1}), você faria T_{2}=(2,0)^{1/4}T_{1} e então usaria \lambda_{2}=(T_{1}/T_{2})\lambda_{1} para encontrar o novo pico — ou seja, sempre combine Stefan–Boltzmann para potências e Wien para picos espectrais.

Resposta

\lambda_{2}=\lambda_{1}

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