O pico da distribuição espectral da potência irradiada por um pequeno forno à temperatura de
ocorre para o comprimento de onda de
. A temperatura da cavidade é aumentada para
até que a potência total irradiada seja 1,0 vezes do valor na temperatura
. Considerando este forno como um corpo negro, qual é o novo comprimento de onda (
) do pico da distrbuição espectral?
Dados:
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
.
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Se necessário, use para os valores destas constantes:
, onde
Nesta questão, use como indicador de separação dos decimais a vírgula ( , ), assim, por exemplo, valor
Além disso, não esqueça de selecionar a unidade adequada para sua resposta.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o novo comprimento de onda do pico da distribuição espectral, chamado
, depois que a temperatura da cavidade é elevada de
para uma nova temperatura
tal que a potência total irradiada na nova temperatura seja
vezes a potência total na temperatura
.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado:
O enunciado também fornece duas leis que podemos usar:
que relaciona o comprimento de onda do pico com a temperatura (constante de Wien), e
que dá a potência total radiada por unidade de área (lei de Stefan–Boltzmann).
Observação: o enunciado diz que a potência total na nova temperatura é
vezes a potência na temperatura inicial — isto é, o fator de mudança da potência é
.
Passo 2
Entendendo como usar a lei de Stefan–Boltzmann para relacionar
com
.
A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência total por unidade de área de um corpo negro é proporcional a
:
Seja
a potência na temperatura
e
a potência na temperatura
. O enunciado diz que
Substituindo as expressões:
Cancelando
dos dois lados (porque é a mesma constante):
Passo 3
Agora isolamos
. Tomando a raiz quarta em ambos os lados:
Qual é
? Como
é exatamente
, qualquer potência de
continua
. Assim
Logo
Em valores numéricos, usando o dado do enunciado,
Passo 4
Usando a lei de Wien para relacionar
e
.
A lei de Wien afirma que o produto do comprimento de onda do pico pela temperatura é constante:
Para as duas situações (antes e depois):
Dividindo a segunda pela primeira (ou simplesmente usando proporcionalidade) obtemos:
Como vimos no Passo 3,
. Portanto
Logo
Passo 5
Interpretação física curta e dica para prova: como a potência total varia como
, para que a potência final seja exatamente igual à inicial (fator
) a temperatura não precisa mudar; consequentemente o pico da distribuição espectral, que depende inversamente da temperatura via a lei de Wien, também não muda. Se na prova pedirem um caso em que a potência, por exemplo, dobrasse (
), você faria
e então usaria
para encontrar o novo pico — ou seja, sempre combine Stefan–Boltzmann para potências e Wien para picos espectrais.