Um astronauta na Estação Espacial Internacional, entediado, e dispondo de seis esferas metálicas de mesmo raio, resolveu brincar com elas (em gravidade zero). Como sempre gostou de Física (e está entediado), o astronauta se perguntou de quantas maneiras distintas poderíamos colocar as esferas em contato mútuo, de tal modo que qualquer excesso de carga por elas adquirido fosse igualmente distribuído entre as seis esferas (uma configuração das seis esferas em contato é distinta de outra se, caso as esferas fossem soldadas nos pontos de contato, formassem sólidos não congruentes). Assinale a alternativa que corretamente indica quantas configurações atendem ao que se pede.
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) Infinitas
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) Infinitas
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantas maneiras distintas podemos colocar seis esferas metálicas idênticas, em gravidade zero, de modo que, estando em contato mútuo onde tocarem, qualquer excesso de carga que as esferas recebam fique igualmente dividido entre as seis (isto é, no equilíbrio cada esfera receba a mesma carga). Uma configuração é considerada distinta de outra quando, se as esferas fossem soldadas nos pontos de contato, os sólidos obtidos NÃO são congruentes (não são transformáveis por uma rotação/translação/reflexão).
Informações relevantes dadas:
- Há exatamente seis esferas idênticas.
- Contatos entre esferas permitem condução elétrica entre elas.
- O requisito físico é: carga final igual em todas as esferas.
- Duas configurações são consideradas diferentes se os sólidos formados pelos centros e contatos não são congruentes.
Pergunta efetiva: quantas configurações geometricamente distintas satisfazem o requisito de que, ao se tocar, a carga se distribua igualmente entre as seis esferas?
Passo 2
Interpretação física-matemática do requisito “carga igualmente distribuída”.
Aula rápida (sem jargões complicados):
- Quando condutores entram em contato eles ficam ao mesmo potencial elétrico (são parte do mesmo corpo condutor). A quantidade de carga que acaba em cada “parte” depende da geometria: se duas partes são geométrica e eletricamente equivalentes por simetria, elas recebem a mesma carga.
- Portanto, uma maneira prática de garantir que as seis esferas recebam exatamente a mesma carga é que a configuração possua movimentos rígidos (isometrias do espaço: rotações/reflexões/translações) que permutem as esferas de modo que qualquer esfera possa ser levada para a posição de qualquer outra, preservando todas as adjacências (os pontos de contato). Em linguagem curta: o grupo de simetrias da montagem deve agir sobre as seis esferas de forma transitiva (todo vértice é “equivalente” a qualquer outro).
- Vou usar essa condição de transitividade de simetrias como o critério prático: se a configuração é simétrica de modo que todas as esferas são indistinguíveis por uma isometria do arranjo, então a carga ficará igualmente dividida entre elas.
Observação didática: pode haver casos muito exóticos em que, por acidente geométrico, cargas fiquem iguais sem a configuração ser totalmente transitiva; porém para esferas idênticas e contatos pontuais, a condição de simetria transitiva é a forma natural e necessária que as provas/exercícios deste tipo esperam que se use.
Passo 3
Transformando o problema em contagem de grafos simétricos realizáveis:
- Representamos as esferas por vértices de um grafo e um aresta entre dois vértices significa “essas duas esferas estão em contato (tocam)”. Esse grafo é chamado grafo de contatos.
- O requisito de igualdade de carga passa a ser: o arranjo físico (posicionamento dos centros das esferas) deve ter um grupo de simetrias espaciais que atua transitivamente sobre os vértices do grafo de contatos. Em termos práticos, buscamos grafos com 6 vértices que sejam vertex-transitive e que possam ser realizados como “unit-distance graphs” em 3D com distância entre centros igual a
quando há aresta.
Agora vou enumerar grafos vértice-transitivos típicos em 6 vértices e verificar quais podem ser realizados fisicamente como esferas em contato:
Candidatos naturais (conhecidos em combinatória/geometria):
- O ciclo de 6 vértices,
(grafo ciclo). - O prisma triangular (grafo dos vértices de um prisma triangular regular).
- O grafo do octaedro regular (que é isomorfo a
, ou seja, três pares onde cada vértice está ligado a todos os vértices das outras partes). -
(grafo completo em 6 vértices). -
(grafo completo bipartido ). - Outros grafos não transitivos (que descartamos pois não tornam todas as esferas equivalentes).
Vou agora examinar um a um a realizabilidade física e a transitividade:
Passo 4
Construção explícita e verificação positiva de três arranjos realizáveis e simétricos
A) Anel hexagonal (regular hexágono plano) — grafo
.
- Constrói-se colocando os centros das esferas nos vértices de um hexágono regular com aresta
. Cada esfera toca exatamente duas vizinhas (grau ). - O arranjo tem simetria rotacional de
e reflexões, que é transitiva nos vértices: qualquer vértice do hexágono pode ser levado a qualquer outro por uma rotação/reflexão. Logo todas as seis esferas são equivalentes — satisfaz a condição de carga igual. - Sólido resultante: anel plano (todos os centros coplanares).
B) Prisma triangular regular — grafo do prisma triangular.
- Constrói-se com dois triângulos equiláteros congruentes, paralelos, um diretamente acima do outro, com lado de cada triângulo igual a
e com cada vértice superior a distância do vértice correspondente inferior (arestas verticais de comprimento ). Assim cada vértice tem grau : toca dois vizinhos no mesmo triângulo e a sua contraparte no outro triângulo. - O prisma triangular regular tem grupo de simetria
que permite enviar qualquer vértice para qualquer outro (há rotações e reflexões que trocam camadas). Portanto é transitivo nos vértices e garante equalização de carga. - Sólido resultante: prisma triangular (estrutura não plana, diferente do anel).
C) Octaedro regular — grafo do octaedro (isomorfo a
).
- Colocam-se os centros nos seis vértices de um octaedro regular com aresta de comprimento
. Cada vértice toca quatro outros (grau ). - O octaedro é muito simétrico (grupo octaédrico), herdando transitividade sobre vértices — todas as seis esferas equivalentes.
- Sólido resultante: octaedro espacial (diferente dos demais).
Concluímos que há ao menos três configurações distintas (não congruentes), correspondendo aos três grafos acima:
(grau 2), prisma triangular (grau 3) e octaedro (grau 4). Como cada uma tem diferente sequência de graus dos vértices, são geometricamente distintas e não congruentes entre si.
Passo 5
Exclusão das demais possibilidades candidatas
A) Impossibilidade de
(todas as seis esferas pares em contato).
-
exigiria que todos os seis centros estivessem mutuamente à mesma distância . Em termos geométricos isso pede seis pontos mutuamente equidistantes em . É um fato elementar de geometria que o número máximo de pontos mutuamente equidistantes em é (os vértices de um tetraedro regular). Para mais do que pontos mutuamente equidistantes é preciso dimensão maior ( com para pontos). Logo não é realizável por centros de esferas idênticas em 3D.
B) Impossibilidade de
.
- Suponha que exista uma realização geométrica de
com as três vértices do conjunto e as três de tais que cada esteja a distância de cada , e que não haja arestas dentro de nem dentro de . - Pegue os três pontos de
. Se eles forem colineares, então não é possível que três pontos distintos de estejam todos à mesma distância dos três pontos de sem coincidirem em apenas dois pontos (a intersecção dos tricentros). Se os três pontos de não são colineares, então eles têm um circuncentro (centro do círculo que passa por ) situado num plano; o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância de é a reta perpendicular a esse plano que passa pelo circuncentro: há, no máximo, dois pontos (um acima e outro abaixo do plano) equidistantes das três . Logo só podem existir no máximo dois pontos distintos que fiquem à mesma distância dos três . Mas em são necessários três pontos distintos com essa propriedade — contradição. Portanto não pode ser realizado por centros de seis esferas em contato com arestas representando contatos todos de comprimento .
C) Outros grafos vértice-transitivos de 6 vértices que não listamos ou grafos não transitivos
- Qualquer grafo que não seja vertex-transitive não garante que todas as esferas sejam equivalentes sob uma isometria, portanto não assegura divisão igualitária de carga por simetria (e o enunciado pede garantidamente igualdade entre as seis, não “às vezes por azar”). Assim descartamos grafos não transitivos.
- Os outros grafos transitivos de 6 vértices que se encontram na classificação combinatória são justamente variantes isomórficas aos já examinados (
, prisma triangular, octaedro, , ). Dos quais só os três primeiros são geometricamente realizáveis como contatos entre esferas idênticas em .
Conclusão deste passo: não há outros arranjos satisfatórios além dos três construídos no Passo 4.
Passo 6
Resumo final e interpretação intuitiva para a prova (como usar isso na hora):
- Traduza “carga igualmente distribuída” para “todas as esferas são equivalentes por simetria”.
- Modele as esferas por vértices e contatos por arestas; procure grafos vertex-transitive de
vértices que sejam realizáveis por distâncias iguais entre centros quando há contato. - Construa explicitamente os candidatos simples: hexágono regular (cada uma toca 2), prisma triangular (cada toca 3), octaedro regular (cada toca 4).
- Use contagem de grau (2,3,4) para ver que as três configurações são não-congruentes.
- Rejeite
por limite de dimensão para pontos mutuamente equidistantes e rejeite pela argumentação do circuncentro (só dois pontos podem estar à mesma distância de três pontos não colineares).
Resposta
(c) 3