Um astronauta está sendo treinado em uma centrífuga que possui 10 m de raio, e na partida, gira de acordo com theta=0,5 t^2, sendo tem segundos e theta em radianos. Quando t =5,0 s, quais são: a) a velocidade angular, b) a velocidade tangencial, c) a aceleração angular, d) a aceleração tangencial. R: 5 , 0 r a d / s ; 5 0 m / s ; 1 0 r a d / s^2 ; 2 5 0 m / s^2.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício sobre movimento circular que envolve conceitos de velocidade angular, velocidade tangencial, aceleração angular e aceleração tangencial. O problema fala sobre um astronauta sendo treinado em uma centrífuga com um raio de 10 metros. A centrífuga está girando de acordo com a equação theta = 0,5 t^2, onde t é o tempo em segundos e theta está em radianos. A pergunta é: quando t = 5,0 segundos, quais são a) a velocidade angular, b) a velocidade tangencial, c) a aceleração angular e d) a aceleração tangencial?

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ( omega). A velocidade angular é a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Matematicamente, é a derivada da função theta(t) em relação ao tempo t:
omega(t) = dthetadt
Dada theta = 0,5 t^2, derivando em relação a t:
omega(t) = ddt(0,5 t^2) = 2 times 0,5 times t = t
Então, quando t = 5,0 segundos:
omega = 5,0 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade tangencial ( v). A velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
v = omega times R
Onde R é o raio da centrífuga, que é 10 metros. Usando o valor de omega que encontramos:
v = 5,0 , rad/s times 10 , m = 50 , m/s

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a aceleração angular ( alpha). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo. Matematicamente, é a derivada da velocidade angular:
alpha(t) = domegadt
Como omega(t) = t, derivando em relação a t:
alpha(t) = ddt(t) = 1 , rad/s^2
Então, a aceleração angular é:
alpha = 1 , rad/s^2

Passo 5

Por fim, vamos calcular a aceleração tangencial ( at). A aceleração tangencial está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
at = alpha times R
Usando a aceleração angular que encontramos e o raio da centrífuga:
at = 1 , rad/s^2 times 10 , m = 10 , m/s^2

Resposta

a) 5,0 , rad/s;
b) 50 , m/s;
c) 1 , rad/s^2;
d) 10 , m/s^2.

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