Um astronauta está sendo treinado em uma centrífuga que possui 10 m de raio, e na partida, gira de acordo com
, sendo tem segundos e
radianos. Quando t
, quais são: a) a velocidade angular, b) a velocidade tangencial, c) a aceleração angular, d) a aceleração tangencial. R:
.
Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício sobre movimento circular que envolve conceitos de velocidade angular, velocidade tangencial, aceleração angular e aceleração tangencial. O problema fala sobre um astronauta sendo treinado em uma centrífuga com um raio de 10 metros. A centrífuga está girando de acordo com a equação
, onde
é o tempo em segundos e
está em radianos. A pergunta é: quando
segundos, quais são a) a velocidade angular, b) a velocidade tangencial, c) a aceleração angular e d) a aceleração tangencial?
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular (
). A velocidade angular é a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Matematicamente, é a derivada da função
em relação ao tempo
:
Dada
, derivando em relação a
:
Então, quando
segundos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade tangencial (
). A velocidade tangencial está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Onde
é o raio da centrífuga, que é 10 metros. Usando o valor de
que encontramos:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a aceleração angular (
). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo. Matematicamente, é a derivada da velocidade angular:
Como
, derivando em relação a
:
Então, a aceleração angular é:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a aceleração tangencial (
). A aceleração tangencial está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
Usando a aceleração angular que encontramos e o raio da centrífuga:
Resposta
a)
;
b) ;
c) ;
d) .
b)
c)
d)