Um carro tem rodas de 30 cm de raio. Ele parte do repouso e acelera uniformemente até uma velocidade de
, em 8 s . Determine a aceleração angular de suas rodas e o número de rotações que ela efetuam neste tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um carro que começa parado e acelera até atingir 15 metros por segundo em 8 segundos, usando rodas com raio de 30 centímetros. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e translação para descobrir a aceleração angular das rodas e quantas rotações elas fazem nesse tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a relação entre o movimento linear do carro e o movimento rotacional das rodas. A velocidade linear $ v $ do carro está relacionada à velocidade angular $ \omega $ das rodas pela fórmula:
onde $ r $ é o raio da roda.
Passo 3
Como queremos a aceleração angular, vamos lembrar que a aceleração linear $ a $ está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela mesma relação:
Então, nossa primeira meta é encontrar a aceleração linear do carro.
Passo 4
Sabemos que o carro parte do repouso, então a velocidade inicial $ v_0 = 0 $. Usamos a fórmula da cinemática para aceleração constante:
Substituindo os valores:
Resolvendo para $ a $:
Passo 5
Agora que temos a aceleração linear, podemos encontrar a aceleração angular usando a relação $ a = \alpha \times r $. Primeiro, vamos converter o raio para metros:
Então:
Resolvendo para $ \alpha $:
Arredondando, temos $ \alpha \approx 6,2 , rad/s^2 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular o número de rotações que as rodas fazem durante os 8 segundos. Primeiro, precisamos encontrar o ângulo total girado pelas rodas em radianos. Sabemos que a aceleração angular é constante, então usamos:
Como parte do repouso, $ \omega_0 = 0 $:
Passo 7
Para converter o ângulo total em rotações, lembramos que uma rotação completa é $ 2\pi $ radianos. Então:
Arredondando, temos aproximadamente 32 rotações.
Resposta
A aceleração angular das rodas é de aproximadamente $ 6,2 , rad/s^2 $ e elas realizam cerca de 32 rotações em 8 segundos.