Um carro tem rodas de 30 cm de raio. Ele parte do repouso e acelera uniformemente até uma velocidade de 15 m / s, em 8 s . Determine a aceleração angular de suas rodas e o número de rotações que ela efetuam neste tempo. R: 6 , 2 r a d / s^2 ; 3 2 rotações çõ

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um carro que começa parado e acelera até atingir 15 metros por segundo em 8 segundos, usando rodas com raio de 30 centímetros. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e translação para descobrir a aceleração angular das rodas e quantas rotações elas fazem nesse tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre o movimento linear do carro e o movimento rotacional das rodas. A velocidade linear $ v $ do carro está relacionada à velocidade angular $ \omega $ das rodas pela fórmula:
v
onde $ r $ é o raio da roda.

Passo 3

Como queremos a aceleração angular, vamos lembrar que a aceleração linear $ a $ está relacionada à aceleração angular $ \alpha $ pela mesma relação:
a
Então, nossa primeira meta é encontrar a aceleração linear do carro.

Passo 4

Sabemos que o carro parte do repouso, então a velocidade inicial $ v_0 = 0 $. Usamos a fórmula da cinemática para aceleração constante:
v0 = 0
Substituindo os valores:
v = v0 + a times t
Resolvendo para $ a $:
15 , m/s = 0 + a times 8 , s

Passo 5

Agora que temos a aceleração linear, podemos encontrar a aceleração angular usando a relação $ a = \alpha \times r $. Primeiro, vamos converter o raio para metros:
a = alpha times r
Então:
r = 30 , cm = 0,3 , m
Resolvendo para $ \alpha $:
1,875 = alpha times 0,3
Arredondando, temos $ \alpha \approx 6,2 , rad/s^2 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular o número de rotações que as rodas fazem durante os 8 segundos. Primeiro, precisamos encontrar o ângulo total girado pelas rodas em radianos. Sabemos que a aceleração angular é constante, então usamos:
theta = omega0 times t + 12 alpha times t^2
Como parte do repouso, $ \omega_0 = 0 $:
omega0 = 0

Passo 7

Para converter o ângulo total em rotações, lembramos que uma rotação completa é $ 2\pi $ radianos. Então:
2pi çõ
Arredondando, temos aproximadamente 32 rotações.

Resposta

A aceleração angular das rodas é de aproximadamente $ 6,2 , rad/s^2 $ e elas realizam cerca de 32 rotações em 8 segundos.

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