Uma roda gira com uma aceleração angular dada por alpha=4 a t^3+3 b t^2, onde t é o tempo, e a e b são constantes. Se omegao é a velocidade inicial da roda, deduza as equações para (a) a velocidade angular e (b) o deslocamento angular em função do tempo.
R: a ) omega=omega0+a t^4+b t^3
b) theta=theta0+a t^5 / 5+b t^4 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a aceleração angular da roda, que é alpha = 4 a t^3 + 3 b t^2, onde t é o tempo, e a e b são constantes. A gente também sabe qual é a velocidade angular inicial, omega0. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
a) A velocidade angular omega em função do tempo t.
b) O deslocamento angular theta em função do tempo t.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente integrando a aceleração para encontrar a velocidade e, depois, integrando a velocidade para encontrar o deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega em função do tempo. Sabemos que a aceleração angular alpha é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
alpha = domegadt
Para encontrar omega, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
omega(t) = omega0 + integral alpha , dt
Substituindo a expressão da aceleração:
omega(t) = omega0 + integral (4 a t^3 + 3 b t^2) , dt
Vamos integrar termo a termo:
omega(t) = omega0 + 4 a integral t^3 , dt + 3 b integral t^2 , dt
Calculando as integrais:
omega(t) = omega0 + 4 a ( t^44 ) + 3 b ( t^33 )
Simplificando:
omega(t) = omega0 + a t^4 + b t^3

Passo 3

Agora, vamos encontrar o deslocamento angular theta em função do tempo. Sabemos que a velocidade angular omega é a derivada do deslocamento angular em relação ao tempo:
omega = dthetadt
Para encontrar theta, vamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:
theta(t) = theta0 + integral omega(t) , dt
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
theta(t) = theta0 + integral (omega0 + a t^4 + b t^3) , dt
Vamos integrar termo a termo:
theta(t) = theta0 + omega0 t + a integral t^4 , dt + b integral t^3 , dt
Calculando as integrais:
theta(t) = theta0 + omega0 t + a ( t^55 ) + b ( t^44 )
Simplificando:
theta(t) = theta0 + omega0 t + a t^55 + b t^44

Resposta

a) A velocidade angular em função do tempo é:
omega(t) = omega0 + a t^4 + b t^3
b) O deslocamento angular em função do tempo é:
theta(t) = theta0 + omega0 t + a t^55 + b t^44

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