Uma roda gira com uma aceleração angular dada por
, onde
é o tempo, e
e
são constantes. Se
é a velocidade inicial da roda, deduza as equações para (a) a velocidade angular e (b) o deslocamento angular em função do tempo.
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a aceleração angular da roda, que é
, onde
é o tempo, e
e
são constantes. A gente também sabe qual é a velocidade angular inicial,
. Nosso objetivo é encontrar duas coisas:
a) A velocidade angular
em função do tempo
.
b) O deslocamento angular
em função do tempo
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, especificamente integrando a aceleração para encontrar a velocidade e, depois, integrando a velocidade para encontrar o deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
em função do tempo. Sabemos que a aceleração angular
é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Para encontrar
, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da aceleração:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o deslocamento angular
em função do tempo. Sabemos que a velocidade angular
é a derivada do deslocamento angular em relação ao tempo:
Para encontrar
, vamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:
Substituindo a expressão da velocidade que encontramos:
Vamos integrar termo a termo:
Calculando as integrais:
Simplificando:
Resposta
a) A velocidade angular em função do tempo é:
b) O deslocamento angular em função do tempo é: