Um astrônomo aponta seu telescópio para uma nuvem de gás interestelar e detecta uma linha de emissão extremamente brilhante exatamente em 656,3 nm . Utilize a equação de Rydberg-Ritz para provar matematicamente que essa linha corresponde à transição do nível n=3 para o nível n=2 do átomo de hidrogênio (a famosa linha H-alfa).

Passo 1

O enunciado dá uma linha de emissão observada com comprimento de onda \,656,3\\ \mathrm{nm}\, e pede para provar matematicamente, usando a equação de Rydberg–Ritz, que essa linha corresponde à transição do nível n=3 para n=2 do átomo de hidrogênio (a linha H- \alpha).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Comprimento de onda observado: \,656,3\\ \mathrm{nm}\,.
  • Quer-se verificar se essa medida coincide com a previsão da equação de Rydberg–Ritz para a transição n=3\to n=2 no hidrogênio.

Passo 2

Apresento a equação de Rydberg–Ritz e explico cada símbolo (aula rápida e direta). Para linhas de emissão do átomo de hidrogênio a equação pode ser escrita como:
\frac{1}{\lambda}=R_{\mathrm{H}}\!\left(\frac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}-\frac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação emitida (em metros);
  • R_{\mathrm{H}} é a constante de Rydberg para o hidrogênio, cujo valor experimental é aproximadamente \,1,0967758\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}\,;
  • n_{\mathrm{i}} é o número quântico principal do nível inicial (o maior, de onde o elétron “cai”);
  • n_{\mathrm{f}} é o número quântico principal do nível final (o menor, para o qual o elétron vai);
  • Para emissão deve-se ter n_{\mathrm{i}}>n_{\mathrm{f}}, e a expressão entre parênteses é positiva, dando 1/\lambda>0.
Explicação curta do porquê desta fórmula: os níveis de energia do hidrogênio são proporcionais a -1/n^{2}; a diferença de energia entre dois níveis dá a energia do fóton emitido, E=hc/\lambda. Substitindo E pela diferença de níveis e isolando 1/\lambda obtém-se a fórmula acima. Não precisamos derivar detalhadamente aqui, só lembrar essa relação física.

Passo 3

Aplicando a fórmula à transição n_{\mathrm{i}}=3 (inicial) para n_{\mathrm{f}}=2 (final). Substituo na expressão:
\frac{1}{\lambda}=R_{\mathrm{H}}\!\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right).
Faço a álgebra da diferença de frações:
\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{9}=\frac{9-4}{36}=\frac{5}{36}.
Portanto a fórmula fica
\frac{1}{\lambda}=R_{\mathrm{H}}\cdot\frac{5}{36}.

Passo 4

Isolo \lambda e substituo o valor numérico de R_{\mathrm{H}}. Assim:
\lambda=\frac{36}{5\,R_{\mathrm{H}}}.
Substituindo \,R_{\mathrm{H}=1,0967758\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}}\,:
\lambda=\frac{36}{5\cdot\left(1,0967758\times 10^{7}\right)}\\ \mathrm{m}.
Calculo o produto do denominador:
5\cdot\left(1,0967758\times 10^{7}\right)=5,483879\times 10^{7}.
Logo
\lambda=\frac{36}{5,483879\times 10^{7}}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converto para unidades de nanômetros (1 m =10^{9} nm) para comparar diretamente com a observação. Faço a redução algébrica conveniente:
\lambda(\mathrm{nm})=\frac{36\cdot 10^{9}}{5\cdot\left(1,0967758\times 10^{7}\right)}=\frac{3600}{5\cdot 1,0967758}\\ \mathrm{nm}.
Calculo o denominador numérico:
5\cdot 1,0967758 = 5,483879.
Portanto
\lambda(\mathrm{nm})=\frac{3600}{5,483879}\\ \mathrm{nm}\approx 656,279\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma compatível com a medida observada:
\lambda\approx 656,28\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Comparo o valor calculado com a linha observada do enunciado. Observação: o enunciado deu \,656,3\\ \mathrm{nm}\,. O valor teórico que encontramos para a transição n=3\to n=2 é \,656,28\\ \mathrm{nm}\,, que coincide com \,656,3\\ \mathrm{nm}\, dentro do erro de arredondamento. Logo, matematicamente provamos que a linha observada é a transição n=3\to n=2 do hidrogênio, conhecida como H- \alpha.

Passo 7

Comentário final e motivacional curto: pronto — com a equação de Rydberg você mostrou direitinho que a nuvem de gás emitiu a famosa H- \alpha. É exatamente essa conta que astrônomos usam para identificar elementos e transições em espectros; a coincidência numérica é a prova. Vai com calma na prova — fazer a substituição e a simplificação 1/4-1/9=5/36 já resolve a maior parte da batalha.

Resposta

A linha de 656,3\\ \mathrm{nm} corresponde à transição n=3\to n=2 do hidrogênio (linha H- \alpha).

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