Um astrônomo aponta seu telescópio para uma nuvem de gás interestelar e detecta uma linha de emissão extremamente brilhante exatamente em 656,3 nm . Utilize a equação de Rydberg-Ritz para provar matematicamente que essa linha corresponde à transição do nível
para o nível
do átomo de hidrogênio (a famosa linha H-alfa).
Passo 1
O enunciado dá uma linha de emissão observada com comprimento de onda
e pede para provar matematicamente, usando a equação de Rydberg–Ritz, que essa linha corresponde à transição do nível
para
do átomo de hidrogênio (a linha H-
).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Comprimento de onda observado:
. - Quer-se verificar se essa medida coincide com a previsão da equação de Rydberg–Ritz para a transição
no hidrogênio.
Passo 2
Apresento a equação de Rydberg–Ritz e explico cada símbolo (aula rápida e direta). Para linhas de emissão do átomo de hidrogênio a equação pode ser escrita como:
onde:
-
é o comprimento de onda da radiação emitida (em metros); -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio, cujo valor experimental é aproximadamente ; -
é o número quântico principal do nível inicial (o maior, de onde o elétron “cai”); -
é o número quântico principal do nível final (o menor, para o qual o elétron vai); - Para emissão deve-se ter
, e a expressão entre parênteses é positiva, dando .
Explicação curta do porquê desta fórmula: os níveis de energia do hidrogênio são proporcionais a
; a diferença de energia entre dois níveis dá a energia do fóton emitido,
. Substitindo
pela diferença de níveis e isolando
obtém-se a fórmula acima. Não precisamos derivar detalhadamente aqui, só lembrar essa relação física.
Passo 3
Aplicando a fórmula à transição
(inicial) para
(final). Substituo na expressão:
Faço a álgebra da diferença de frações:
Portanto a fórmula fica
Passo 4
Isolo
e substituo o valor numérico de
. Assim:
Substituindo
:
Calculo o produto do denominador:
Logo
Passo 5
Converto para unidades de nanômetros (1 m
nm) para comparar diretamente com a observação. Faço a redução algébrica conveniente:
Calculo o denominador numérico:
Portanto
Arredondando de forma compatível com a medida observada:
Passo 6
Comparo o valor calculado com a linha observada do enunciado. Observação: o enunciado deu
. O valor teórico que encontramos para a transição
é
, que coincide com
dentro do erro de arredondamento. Logo, matematicamente provamos que a linha observada é a transição
do hidrogênio, conhecida como H-
.
Passo 7
Comentário final e motivacional curto: pronto — com a equação de Rydberg você mostrou direitinho que a nuvem de gás emitiu a famosa H-
. É exatamente essa conta que astrônomos usam para identificar elementos e transições em espectros; a coincidência numérica é a prova. Vai com calma na prova — fazer a substituição e a simplificação
já resolve a maior parte da batalha.
Resposta
A linha de
corresponde à transição
do hidrogênio (linha H-
).