O modelo de Bohr pode ser estendido para íons hidrogenoides (átomos que perderam todos os elétrons, exceto um). Para o íon de Hélio (
, onde
), deduza a nova expressão algébrica da energia dos níveis orbitais. Em seguida, calcule a energia necessária para arrancar esse último elétron do estado fundamental do Hélio.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
- O enunciado: estender o modelo de Bohr para íons hidrogenoides e, para o íon de Hélio
(onde ), (i) deduzir a nova expressão algébrica da energia dos níveis orbitais e (ii) calcular a energia necessária para arrancar o elétron do estado fundamental. - Informação dada: carga nuclear efetiva
para . - O que eu preciso devolver:
- A expressão geral de
, (energia do nível ) válida para um átomo/íon hidrogenoide com carga nuclear . - A energia de ionização do estado fundamental (
) do — ou seja, a energia necessária para levar o elétron de até (energia de referência ).
- A expressão geral de
Passo 2
Relembrando e escrevendo as hipóteses do modelo de Bohr que vou usar (cada símbolo explicado):
- Quantização do momento angular:
, onde -
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron na órbita circular, -
é o raio da órbita, -
é o número quântico principal, -
é a constante de Planck reduzida ( ).
-
- Equilíbrio das forças (força centrípeta = força coulombiana):
onde
-
é a magnitude da carga do elétron, -
é a permissividade elétrica do vácuo, -
é o número de prótons no núcleo (aqui para He ).
Explicação rápida: a atração coulombianamantém o elétron em órbita e fornece a aceleração centrípeta .
Passo 3
A partir das duas equações anteriores obtenho
(o raio da órbita do nível
).
- Da quantização:
. - Substituo em
: - Reorganizando para
: logo (cancelando um não-nulo) - Definindo a constante conhecida “raio de Bohr”
, fica mais simples:
Comentário didático: isso mostra que, para mesmo
, o raio diminui conforme
aumenta — elétron mais fortemente atraído fica mais próximo do núcleo.
Passo 4
Agora obtenho a energia total
(cinética + potencial) e expresso em função de
e
.
- Energia cinética:
. Da equação de equilíbrio já vimos que . Assim - Energia potencial eletrostática (elétron-núcleo):
. - Energia total:
(ou escrevendo de forma mais diretae , resultado clássico do potencial coulombiano). - Substituo
usando o resultado do Passo 3. Usando e fazendo a álgebra: - Posso simplificar trocando
por se desejar; o resultado padrão é - Forma prática e muito usada (valores numéricos incorporados):
Explicação das duas formas: a primeira é a expressão completa em constantes fundamentais (útil para dedução), a segunda é a forma em unidades de elétron-volt com o número
sendo a energia do nível fundamental do hidrogênio (
).
Passo 5
Calcular a energia necessária para arrancar o elétron do estado fundamental do
.
- Para o estado fundamental
com : - A energia de ionização é a energia necessária para levar o elétron de
até , portanto é : - Converter para joules (usando
): - Converter para kJ/mol (usando
por partícula , ou multiplicando o valor em J por ):