O modelo de Bohr pode ser estendido para íons hidrogenoides (átomos que perderam todos os elétrons, exceto um). Para o íon de Hélio ( \mathrm{He}^{+}, onde Z=2 ), deduza a nova expressão algébrica da energia dos níveis orbitais. Em seguida, calcule a energia necessária para arrancar esse último elétron do estado fundamental do Hélio.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado: estender o modelo de Bohr para íons hidrogenoides e, para o íon de Hélio \mathrm{He}^{+} (onde Z=2), (i) deduzir a nova expressão algébrica da energia dos níveis orbitais e (ii) calcular a energia necessária para arrancar o elétron do estado fundamental.
  • Informação dada: carga nuclear efetiva Z=2 para \mathrm{He}^{+}.
  • O que eu preciso devolver:
    1. A expressão geral de \,E_n, (energia do nível n) válida para um átomo/íon hidrogenoide com carga nuclear +Ze.
    2. A energia de ionização do estado fundamental ( n=1) do \mathrm{He}^{+} — ou seja, a energia necessária para levar o elétron de n=1 até r\to\infty (energia de referência E=0).

Passo 2

Relembrando e escrevendo as hipóteses do modelo de Bohr que vou usar (cada símbolo explicado):
  • Quantização do momento angular: \,m v r = n\hbar, onde
    • m é a massa do elétron,
    • v é a velocidade do elétron na órbita circular,
    • r é o raio da órbita,
    • n\in\mathbb{N} é o número quântico principal,
    • \hbar é a constante de Planck reduzida ( \hbar=\dfrac{h}{2\pi}).
  • Equilíbrio das forças (força centrípeta = força coulombiana): \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r^2} = \frac{m v^2}{r},
onde
  • e é a magnitude da carga do elétron,
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo,
  • Z é o número de prótons no núcleo (aqui Z=2 para He ^+).
    Explicação rápida: a atração coulombiana \,\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r^2}\, mantém o elétron em órbita e fornece a aceleração centrípeta v^2/r.

Passo 3

A partir das duas equações anteriores obtenho r_n (o raio da órbita do nível n).
  • Da quantização: \,v = \dfrac{n\hbar}{m r}.
  • Substituo em \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r^2} = \dfrac{m v^2}{r}: \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r^2} = \frac{m}{r}\left(\frac{n\hbar}{m r}\right)^2 = \frac{n^2\hbar^2}{m r^3}.
  • Reorganizando para r: r^3 = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2 \hbar^2}{m e^2} \; r,logo (cancelando um r não-nulo) r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\,\frac{n^2}{Z}.
  • Definindo a constante conhecida “raio de Bohr” \,a_0=\dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m e^2}\,, fica mais simples: r_n = a_0\,\frac{n^2}{Z}.
Comentário didático: isso mostra que, para mesmo n, o raio diminui conforme Z aumenta — elétron mais fortemente atraído fica mais próximo do núcleo.

Passo 4

Agora obtenho a energia total E_n (cinética + potencial) e expresso em função de n e Z.
  • Energia cinética: \,K=\dfrac{1}{2} m v^2. Da equação de equilíbrio já vimos que m v^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r}. Assim K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2}\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r} = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0}\frac{Z e^2}{r}.
  • Energia potencial eletrostática (elétron-núcleo): \,U = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r}.
  • Energia total: \,E = K+U = -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r} = -\dfrac{1}{8\pi\varepsilon_0}\dfrac{Z e^2}{r}.
    (ou escrevendo de forma mais direta E = -\dfrac{1}{2}K e K = -U/2, resultado clássico do potencial coulombiano).
  • Substituo r=r_n usando o resultado do Passo 3. Usando r_n = \dfrac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2 n^2}{m e^2 Z} e fazendo a álgebra: E_n = -\frac{m e^4 Z^2}{2(4\pi\varepsilon_0)^2 \hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}.
  • Posso simplificar trocando \hbar por h se desejar; o resultado padrão é E_n = -\frac{m e^4 Z^2}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{1}{n^2}.
  • Forma prática e muito usada (valores numéricos incorporados): E_n = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\;\frac{Z^2}{n^2}.
Explicação das duas formas: a primeira é a expressão completa em constantes fundamentais (útil para dedução), a segunda é a forma em unidades de elétron-volt com o número 13{,}6\\ \mathrm{eV} sendo a energia do nível fundamental do hidrogênio ( Z=1,\;n=1).

Passo 5

Calcular a energia necessária para arrancar o elétron do estado fundamental do \mathrm{He}^{+}.
  • Para o estado fundamental n=1 com Z=2: E_{1} = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\;\frac{Z^2}{1^2} = -13{,}6\\ \mathrm{eV}\times(2)^2 = -54{,}4\\ \mathrm{eV}.
  • A energia de ionização é a energia necessária para levar o elétron de E_1 até E=0, portanto é |E_1|: E_{\text{ion}} = 54{,}4\\ \mathrm{eV}.
  • Converter para joules (usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}): E_{\text{ion}} = 54{,}4\times1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 8{,}7158\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
  • Converter para kJ/mol (usando 1\\ \mathrm{eV} por partícula \approx96{,}485\\ \mathrm{kJ/mol}, ou multiplicando o valor em J por N_A): E_{\text{ion (mol)}} \approx 54{,}4\times96{,}485\\ \mathrm{kJ/mol} \approx 5{,}249\times10^{3}\\ \mathrm{kJ/mol}.

Resposta

E_n = -\dfrac{m e^4 Z^2}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{1}{n^2} \;=\; -13{,}6\\ \mathrm{eV}\,\frac{Z^2}{n^2}
E_{\text{ion (He}^+,\;n=1)} = 54{,}4\\ \mathrm{eV} = 8{,}7158\times10^{-18}\\ \mathrm{J} \approx 5{,}249\times10^{3}\\ \mathrm{kJ/mol}

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