Até o ano 2001, o maior primo de Mersenne conhecido era M13466917. Quantos algarismos tem esse número?

Passo 1

O enunciado diz que até 2001 o maior primo de Mersenne conhecido era
M13466917 = 2^13466917 - 1
e pede o número de algarismos desse número.
Conteúdo: número de dígitos de um inteiro grande, usando logaritmo decimal.

Passo 2

Para qualquer inteiro positivo N, o número de algarismos em base 10 é dado por
dígitos(N) = lfloor log10(N)rfloor + 1 í
Vamos aplicar isso a N = 2^13466917 - 1.

Passo 3

Escrevendo o logaritmo:
log10(2^13466917 - 1) = log10l(2^13466917r) + log10l(1 - 2^-13466917r)
Como 2^-13466917 é extremamente pequeno, log10(1 - 2^-13466917)approx 0. Então
log10(2^13466917 - 1)approx 13466917 ,log10(2)

Passo 4

Usando o valor aproximado
log10(2)approx 0,301029995664, calculamos
13466917times 0,301029995664 approx 4053945,9661

Passo 5

Aplicando a fórmula dos dígitos:
dígitos(M13466917) = llfloor 4053945,9661rrfloor + 1 = 4053945 + 1 = 4053946 í

Resposta

4,053,946 algarismos.

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