Dados os inteiros a>1 e n>1, mostre que se a^n-1 é primo então a=2 e n é primo. ^5

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados inteiros a>1 e n>1, se
a^n-1
é primo então necessariamente a=2 e n é primo. Vamos usar a fatoração de diferença de potências e o fato de que um número primo não pode ser escrito como produto de dois inteiros maiores que 1.

Passo 2

Usamos a identidade de fatoração
a^n-1=(a-1)l(a^n-1+a^n-2+cdots+1r)
Se a>2, então a-1>1 e, como n>1, o fator l(a^n-1+cdots+1r) também é maior que 1. Logo a^n-1 seria composto. Para que seja primo, deve valer
a-1=1Longrightarrow a=2

Passo 3

Agora com a=2 temos o número 2^n-1. Se n fosse composto, digamos n=bc com b>1 e c>1, então
2^n-1=(2^b)^c-1
e, de novo pela fatoração,
(2^b)^c-1=(2^b-1)l((2^b)^c-1+(2^b)^c-2+cdots+1r),
ambos os fatores maiores que 1, o que tornaria 2^n-1 composto. Portanto, para 2^n-1 ser primo, n deve ser primo.

Resposta

a=2 e n é primo.

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