Para o inteiro positivo n denotaremos por S(n) a soma de todos os divisores positivos de n. Por exemplo,
se n=10 então S(10)=1+2+5+10=18 ã
(a) Determine S(12) e S(20);
(b) Determine S(p) e S(p^2) para p primo;
(c) Mostre que S(p^n)=p^n+1-1p-1;
(d) Mostre que S(2^n)=2^n+1-1 e S(3^n)=12(3^n+1-1).

Passo 1

O enunciado define S(n) como a soma de todos os divisores positivos de n. Vamos usar duas ideias principais:
  1. Listar divisores e somá-los em casos específicos (para resolver (a) e (b)).
  2. Reconhecer que, se n=p^k com p primo, os divisores são
1,,p,,p^2,,dots,,p^k
e aplicar a fórmula da soma de uma progressão geométrica para concluir (c) e depois obter (d).

Passo 2

Para (a) listamos os divisores de cada inteiro e somamos:
  • Para n=12, os divisores positivos formam o conjunto
1,2,3,4,6,12,
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S(12)=1+2+3+4+6+12=28
  • Para n=20, os divisores positivos formam o conjunto
1,2,4,5,10,20,
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S(20)=1+2+4+5+10+20=42

Passo 3

Para (b) tomamos p primo e listamos os divisores:
  • Se n=p, os divisores são 1,p, então
S(p)=1+p
  • Se n=p^2, os divisores são 1,p,p^2, então
S(p^2)=1+p+p^2

Passo 4

Para (c) consideramos n=p^k. Os divisores são
1,,p,,p^2,dots,p^k,
então
S(p^k)=1+p+p^2+cdots+p^k
Como isso é uma soma geométrica com razão pneq1, vale a fórmula
S(p^k)=p^,k+1-1p-1

Passo 5

Para (d) basta aplicar a fórmula de (c) aos casos p=2 e p=3:
  • Se p=2,
S(2^n)=2^,n+1-12-1=2^,n+1-1
  • Se p=3,
S(3^n)=3^,n+1-13-1=3^,n+1-12

Resposta

(a) S(12)=28 e S(20)=42
(b) S(p)=1+p e S(p^2)=1+p+p^2
(c) S(p^n)=p^,n+1-1p-1
(d) S(2^n)=2^,n+1-1 e S(3^n)=3^,n+1-12

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