Para o inteiro positivo
denotaremos por
a soma de todos os divisores positivos de
. Por exemplo,
(a) Determine
e
;
(b) Determine
e
para
primo;
(c) Mostre que
;
(d) Mostre que
e
.
(b) Determine
(c) Mostre que
(d) Mostre que
Passo 1
O enunciado define
como a soma de todos os divisores positivos de
. Vamos usar duas ideias principais:
- Listar divisores e somá-los em casos específicos (para resolver (a) e (b)).
- Reconhecer que, se
com primo, os divisores são
e aplicar a fórmula da soma de uma progressão geométrica para concluir (c) e depois obter (d).
Passo 2
Para (a) listamos os divisores de cada inteiro e somamos:
- Para
, os divisores positivos formam o conjunto
logo
- Para
, os divisores positivos formam o conjunto
logo
Passo 3
Para (b) tomamos
primo e listamos os divisores:
- Se
, os divisores são , então
- Se
, os divisores são , então
Passo 4
Para (c) consideramos
. Os divisores são
então
Como isso é uma soma geométrica com razão
, vale a fórmula
Passo 5
Para (d) basta aplicar a fórmula de (c) aos casos
e
:
- Se
,
- Se
,
Resposta
(a)
e
(b) e
(c)
(d) e
(b)
(c)
(d)