Se p é primo, então 2^p-1 também é primo. Verdadeiro ou Falso? (Observe que esta é a recíproca do exercício anterior).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se “se p é primo, então 2^p-1 também é primo” é verdadeiro ou falso. O conteúdo aqui envolve os chamados números de Mersenne e busca mostrar que a recíproca da afirmação clássica “se 2^n-1 é primo então n é primo” não vale sempre. Para resolver precisamos encontrar um contraexemplo: um primo p tal que 2^p-1 seja composto.

Passo 2

Procuramos o menor primo p pós- 2 que gere um número composto em 2^p-1. Testamos p=3,5,7 e vemos que:
2^3-1 = 7(primo), 2^5-1 = 31(primo), 2^7-1 = 127(primo)
O próximo primo é p=11.

Passo 3

Calculamos
2^11-1 = 2047
Para ver se 2047 é primo, tentamos dividir por primos pequenos. Observamos que
23 times 89 = 2047,
logo 2047 é composto.

Resposta

Falso, pois para p=11 temos 2^11-1=2047=23times89, que não é primo.

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