Até o ano passado, apenas 20 % dos estudantes de uma certa cantina universitária aprovaram a qualidade das refeições servidas no seu refeitório. Após uma série de medidas corretivas, 40 estudantes, foram escolhidos ao acaso, entrevistados, e o número daqueles que aprovaram a qualidade das refeições, usado para verificar se as medidas corretivas surtiram efeito. O número dos que ficaram satisfeitos foi 28 . Realize o teste de hipóteses apropriado usando o nível de significância de 5 %.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: até o ano passado, só 20 % da galera aprovava as refeições da cantina. Depois de umas mudanças, a gente entrevistou 40 estudantes e 28 curtiram o rango. Queremos saber, com nível de significância de 5 %, se deu pra falar que as medidas corretivas realmente aumentaram essa aprovação.
Conteúdo: teste de hipótese para proporção. Vamos usar a aproximação normal (teste-z) pra proporção. Precisamos das fórmulas de hipótese, estatística de teste , condição de normalidade e cálculo de p-valor.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: a proporção verdadeira é H0: p = 0.20 vs H1: p > 0.20 (nenhum efeito)
H₁: a proporção é maior que 0.20 (efeito positivo)
Ou seja,

Passo 3

Verificando se dá pra usar a aproximação normal (regra prática: e ):


Beleza, podemos seguir com o teste-z.

Passo 4

Calculando a proporção amostral hat p = xn = 2840 = 0.70 :

Passo 5

Montando a estatística de teste z = hat p - p0raizp0(1-p0)n = 0.70 - 0.20raiz0.20cdot0.8040 = 0.50raiz0.1640 = 0.50raiz0.004 = 0.500.0632456 approx 7.91 :

Passo 6

Calculando o p-valor para um teste à direita:
p-valor = P(Z > 7.91),
onde segue a distribuição normal padrão. Esse valor é praticamente zero (muito menor que 0.05).

Passo 7

Como o p-valor é menor que , rejeitamos . Ou seja, há evidência suficiente para dizer que a proporção de aprovação aumentou após as medidas.

Resposta

Rejeita-se ao nível de 5 %. Concluímos que as medidas corretivas surtiram efeito e a aprovação cresceu.

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