As vésperas de um pleito eleitoral majoritária, uma pesquisa de opinião pública revelou que, de 500 eleitores escolhidos aleatoriamente, 286 indicavam como preferência o candidato A. É possível assegurar, usando um nível de
de significância, que esse candidato vencerá o pleito em questão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que, num pleito eleitoral, 500 eleitores foram pesquisados e 286 deles preferem o candidato A. A nossa missão aqui é descobrir, com 5% de margem de erro, se dá para garantir que o candidato A vai ganhar a eleição. Para isso, vamos usar conceitos de teste de hipóteses para proporção de uma população.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir as nossas hipóteses. Em um teste de hipóteses, temos a hipótese nula (
) e a hipótese alternativa (
):
- Hipótese nula (
): O candidato A não tem maioria, ou seja, sua proporção de votos é igual ou menor que 50% ( ). - Hipótese alternativa (
): O candidato A tem maioria, ou seja, sua proporção de votos é maior que 50% ( ).
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na pesquisa. Foram 286 votos em favor de A de 500 pesquisados:
Em seguida, vamos calcular o erro padrão (
) da proporção sob a hipótese nula:
Passo 4
Com a proporção observada e o erro padrão, podemos calcular o valor de
que nos indica quantos desvios padrão a nossa amostra está da hipótese nula:
Agora, vamos verificar o valor crítico para um teste com nível de significância de 5% em um teste unilateral (como estamos testando se é maior). Olhando na tabela
, o valor crítico é aproximadamente 1.645.
Passo 5
Com o valor de
sendo maior que o valor crítico de 1.645, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que a proporção de 57.2% é estatisticamente significativa para afirmar que o candidato A tem mais de 50% dos votos na população.
Resposta
Sim, com um nível de significância de 5%, é possível assegurar que o candidato A vencerá o pleito.