As vésperas de um pleito eleitoral majoritária, uma pesquisa de opinião pública revelou que, de 500 eleitores escolhidos aleatoriamente, 286 indicavam como preferência o candidato A. É possível assegurar, usando um nível de 5 % de significância, que esse candidato vencerá o pleito em questão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que, num pleito eleitoral, 500 eleitores foram pesquisados e 286 deles preferem o candidato A. A nossa missão aqui é descobrir, com 5% de margem de erro, se dá para garantir que o candidato A vai ganhar a eleição. Para isso, vamos usar conceitos de teste de hipóteses para proporção de uma população.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as nossas hipóteses. Em um teste de hipóteses, temos a hipótese nula ( H0) e a hipótese alternativa ( H1):
  • Hipótese nula ( H0): O candidato A não tem maioria, ou seja, sua proporção de votos é igual ou menor que 50% ( p <= 0.5).
  • Hipótese alternativa ( H1): O candidato A tem maioria, ou seja, sua proporção de votos é maior que 50% ( p > 0.5).

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na pesquisa. Foram 286 votos em favor de A de 500 pesquisados:
p = 286500 = 0.572
Em seguida, vamos calcular o erro padrão ( Ep) da proporção sob a hipótese nula:
Ep = raizp0 (1 - p0)n = raiz0.5 times 0.5500 = raiz0.25500 approx 0.02236

Passo 4

Com a proporção observada e o erro padrão, podemos calcular o valor de z que nos indica quantos desvios padrão a nossa amostra está da hipótese nula:
z = p - p0Ep = 0.572 - 0.50.02236 approx 3.36
Agora, vamos verificar o valor crítico para um teste com nível de significância de 5% em um teste unilateral (como estamos testando se é maior). Olhando na tabela z, o valor crítico é aproximadamente 1.645.

Passo 5

Com o valor de z = 3.36 sendo maior que o valor crítico de 1.645, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que a proporção de 57.2% é estatisticamente significativa para afirmar que o candidato A tem mais de 50% dos votos na população.

Resposta

Sim, com um nível de significância de 5%, é possível assegurar que o candidato A vencerá o pleito.

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