O patrocinador de um programa especial de TV supõe que pelo menos 40 % de todos os telespectadores de um determinado setor metropolitano veriam tal programa. De uma amostra aleatória de 100 famílias, com televisores ligados, somente 30 assistem o programa. Com base nesta amostra pode-se rejeitar a suposição do patrocinador de que pelo menos 40 % das famílias estão vendo o especial a um nível de significância de:
10 % ?

Passo 1

Beleza, é o seguinte: o patrocinador acha que pelo menos 40 % das famílias estão vendo o programa (essa é a nossa hipótese nula, ). Pegamos uma amostra de 100 famílias e vimos que só 30 assistem (ou seja, a proporção amostral é ). A pergunta é: com nível de significância de 10 % (α = 0{,}10), dá pra rejeitar a suposição dele?
Conteúdo: teste de hipótese para proporção usando aproximação normal. Vamos precisar
  1. Definir e .
  2. Calcular .
  3. Achar o desvio padrão (erro padrão).
  4. Calcular o estatístico .
  5. Comparar com o valor crítico ou usar p-valor.

Passo 2

Hipóteses:
hat p = nº de sucessosn = 30100 = 0,3 (pelo menos 40 % – como é um teste unilateral à esquerda).
.
A proporção da amostra é
º

Passo 3

Agora a gente calcula o erro padrão da proporção sob sigmahat p = raizp0(1 - p0)n = raiz0,4 cdot 0,6100 = raiz0,24100 = raiz0,0024 approx 0,0490 :

Passo 4

Montamos o estatístico Z = hat p - p0sigmahat p = 0,3 - 0,40,0490 = -0,10,0490 approx -2,04 (usando a aproximação normal):

Passo 5

Para α = 0{,}10 num teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
Zalpha = -z0,10 approx -1,2816
Como o nosso p-value = P(Z < -2,04) approx 0,0207 < 0,10, é menor que , a estatística está na região de rejeição.
Ou, se você quiser ver o p-valor:
o que também confirma que rejeitamos .

Resposta

Sim, podemos rejeitar a suposição de que pelo menos 40 % das famílias estão vendo o programa, ao nível de significância de 10 %.

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