(até
pontos) Considere o sistema de equações lineares a seguir:
a) Quantas equações e quantas incógnitas tem esse sistema de equações lineares?
b) Resolva o sistema de equações lineares pelo método que julgar mais conveniente.
c) Represente geometricamente o conjunto solução desse sistema de equações lineares.
d) Classifique o sistema de equações lineares considerando seu conjunto solução. Justifique essa classificação.
b) Resolva o sistema de equações lineares pelo método que julgar mais conveniente.
c) Represente geometricamente o conjunto solução desse sistema de equações lineares.
d) Classifique o sistema de equações lineares considerando seu conjunto solução. Justifique essa classificação.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações lineares
As perguntas do enunciado são:
- (a) Quantas equações e quantas incógnitas tem esse sistema?
- (b) Resolver o sistema pelo método mais conveniente.
- (c) Representar geometricamente o conjunto solução do sistema.
- (d) Classificar o sistema quanto ao seu conjunto solução e justificar a classificação.
Informações relevantes dadas:
- As duas equações lineares com incógnitas
e . - Coeficientes das equações: primeira equação tem coeficientes
para e para ; segunda tem coeficientes para e para .]
Passo 2
Resposta à parte (a): contagem de equações e incógnitas.
Explicando de forma simples: cada linha do sistema é uma equação; as incógnitas são as letras que queremos achar. Aqui as incógnitas são
e
.
Portanto o sistema tem
equações e
incógnitas.
Passo 3
Escolha do método e explicação do método (motivação didática).
Dois métodos muito usados e básicos para sistemas
são:
- substituição: isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra;
- eliminação (adição/subtração): somar ou subtrair equações para eliminar uma incógnita.
Vou usar o método de eliminação porque as duas equações já têm sinais de
opostos (
e
), de modo que somá-las elimina imediatamente
. Isso economiza passos e é confiável em prova.
No método de eliminação a ideia é combinar linearmente as duas equações (somar ou subtrair, possivelmente multiplicando uma por constante) para obter uma equação com apenas uma incógnita, resolver essa incógnita e depois voltar para achar a outra.
Passo 4
Aplicando eliminação: somar as duas equações para eliminar
.
As equações são
e
Somando membro a membro:
No lado esquerdo,
e
se cancelam, sobrando:
Então
Isolando
:
Passo 5
Encontrar
usando o valor de
e verificar.
Usar a segunda equação
. Substituindo
:
Isolando
:
Verificação rápida: checar na primeira equação
.
Substituindo e
:
Substituindo
que coincide com o lado direito da primeira equação. Logo a solução está correta.
Passo 6
Representação geométrica do conjunto solução (parte (c)) — explicação didática.
Cada equação linear em duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano
.
Escrever cada reta na forma
(coeficiente angular
e intercepto
):
- Da primeira equação
isolamos :
Aqui o coeficiente angular é
e o intercepto em
é
.
- Da segunda equação
isolamos :
Aqui
e
.
Geometricamente: são duas retas com inclinações diferentes (
e
), portanto não são paralelas. O conjunto solução do sistema é o ponto de interseção dessas duas retas. Já encontramos esse ponto:
. Logo, geometricamente, o conjunto solução é o único ponto de interseção das retas
e
, isto é o ponto
.
(Dica visual rápida: a reta
sobe mais íngreme; a reta
desce. Elas se cruzam no ponto
.)
Passo 7
Classificação do sistema e justificativa (parte (d)).
Existem três classificações comuns:
- sistema compatível determinado (há exatamente uma solução);
- sistema compatível indeterminado (há infinitas soluções);
- sistema incompatível (nenhuma solução).
Justificativas possíveis:
- Geometricamente: duas retas com inclinações diferentes se cruzam em exatamente um ponto ⇒ exatamente uma solução ⇒ sistema compatível determinado.
- Pela matriz de coeficientes: escrever a matriz dos coeficientes
Calcular o determinante:
Como
, a matriz é inversível e o sistema tem solução única.
Portanto, o sistema é um sistema compatível determinado (ou “possível e determinado”), porque tem exatamente uma solução
.]
Resposta
(a) O sistema tem
equações e
incógnitas.
(b) .
(c) O conjunto solução é o ponto , interseção das retas
e
.
(b)
(c) O conjunto solução é o ponto
(d) Sistema compatível determinado (há exatamente uma solução), pois as retas têm inclinações diferentes e
.]