(até \mathbf{3 , 0} pontos) Considere o sistema de equações lineares a seguir:
\left\{\begin{array}{r} 2 x-y=1 \\\ x+y=5 \end{array}\right.
a) Quantas equações e quantas incógnitas tem esse sistema de equações lineares?
b) Resolva o sistema de equações lineares pelo método que julgar mais conveniente.
c) Represente geometricamente o conjunto solução desse sistema de equações lineares.
d) Classifique o sistema de equações lineares considerando seu conjunto solução. Justifique essa classificação.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações lineares
\begin{cases} 2x - y = 1,\\[4pt] x + y = 5. \end{cases}
As perguntas do enunciado são:
  • (a) Quantas equações e quantas incógnitas tem esse sistema?
  • (b) Resolver o sistema pelo método mais conveniente.
  • (c) Representar geometricamente o conjunto solução do sistema.
  • (d) Classificar o sistema quanto ao seu conjunto solução e justificar a classificação.
Informações relevantes dadas:
  • As duas equações lineares com incógnitas x e y.
  • Coeficientes das equações: primeira equação tem coeficientes 2 para x e -1 para y; segunda tem coeficientes 1 para x e 1 para y.]

Passo 2

Resposta à parte (a): contagem de equações e incógnitas.
Explicando de forma simples: cada linha do sistema é uma equação; as incógnitas são as letras que queremos achar. Aqui as incógnitas são x e y.
Portanto o sistema tem \,2 equações e \,2 incógnitas.

Passo 3

Escolha do método e explicação do método (motivação didática).
Dois métodos muito usados e básicos para sistemas 2\times2 são:
  • substituição: isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra;
  • eliminação (adição/subtração): somar ou subtrair equações para eliminar uma incógnita.
Vou usar o método de eliminação porque as duas equações já têm sinais de y opostos ( -y e +y), de modo que somá-las elimina imediatamente y. Isso economiza passos e é confiável em prova.
No método de eliminação a ideia é combinar linearmente as duas equações (somar ou subtrair, possivelmente multiplicando uma por constante) para obter uma equação com apenas uma incógnita, resolver essa incógnita e depois voltar para achar a outra.

Passo 4

Aplicando eliminação: somar as duas equações para eliminar y.
As equações são
2x - y = 1
e
x + y = 5.
Somando membro a membro:
(2x - y) + (x + y) = 1 + 5.
No lado esquerdo, -y e +y se cancelam, sobrando:
2x + x = 6.
Então
3x = 6.
Isolando x:
x = \frac{6}{3} = 2.

Passo 5

Encontrar y usando o valor de x e verificar.
Usar a segunda equação x + y = 5. Substituindo x=2:
2 + y = 5.
Isolando y:
y = 5 - 2 = 3.
Verificação rápida: checar na primeira equação 2x - y = 1.
Substituindo x=2 e y=3:
2\cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1,
que coincide com o lado direito da primeira equação. Logo a solução está correta.

Passo 6

Representação geométrica do conjunto solução (parte (c)) — explicação didática.
Cada equação linear em duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano (x,y).
Escrever cada reta na forma y = m x + b (coeficiente angular m e intercepto b):
  • Da primeira equação 2x - y = 1 isolamos y:
y = 2x - 1.
Aqui o coeficiente angular é m=2 e o intercepto em y é b=-1.
  • Da segunda equação x + y = 5 isolamos y:
y = -x + 5.
Aqui m=-1 e b=5.
Geometricamente: são duas retas com inclinações diferentes ( 2 e -1), portanto não são paralelas. O conjunto solução do sistema é o ponto de interseção dessas duas retas. Já encontramos esse ponto: (x,y) = (2,3). Logo, geometricamente, o conjunto solução é o único ponto de interseção das retas y=2x-1 e y=-x+5, isto é o ponto (2,3).
(Dica visual rápida: a reta y=2x-1 sobe mais íngreme; a reta y=-x+5 desce. Elas se cruzam no ponto (2,3).)

Passo 7

Classificação do sistema e justificativa (parte (d)).
Existem três classificações comuns:
  • sistema compatível determinado (há exatamente uma solução);
  • sistema compatível indeterminado (há infinitas soluções);
  • sistema incompatível (nenhuma solução).
Justificativas possíveis:
  1. Geometricamente: duas retas com inclinações diferentes se cruzam em exatamente um ponto ⇒ exatamente uma solução ⇒ sistema compatível determinado.
  2. Pela matriz de coeficientes: escrever a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calcular o determinante:
\det(A) = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 2 + 1 = 3.
Como \det(A) \neq 0, a matriz é inversível e o sistema tem solução única.
Portanto, o sistema é um sistema compatível determinado (ou “possível e determinado”), porque tem exatamente uma solução (2,3).]

Resposta

(a) O sistema tem 2 equações e 2 incógnitas.
(b) x=2,\\ y=3.
(c) O conjunto solução é o ponto (2,3), interseção das retas y=2x-1 e y=-x+5.
(d) Sistema compatível determinado (há exatamente uma solução), pois as retas têm inclinações diferentes e \det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=3\neq0.]

Exercícios relacionados