(até \mathbf{1 , 5} ponto) Analise o sistema de equações lineares a seguir:
\left\{\begin{array}{r} 2 x-y-3 z=0 \\\\ -x+2 y-3 z=0 \\\ x+y+4 z=0 \end{array}\right.
a) Como esse sistema de equações lineares é classificado?
b) Qual é a solução trivial desse sistema de equações lineares?
c) O sistema apresenta soluções não-triviais? Se sim, quais são. Se não, mostre por meio da resolução do sistema de equações lineares por qualquer método.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} 2x-y-3z=0\\[4pt] -x+2y-3z=0\\[4pt] x+y+4z=0 \end{array}\right.
As perguntas são:
a) Como esse sistema de equações lineares é classificado?
b) Qual é a solução trivial desse sistema de equações lineares?
c) O sistema apresenta soluções não-triviais? Se sim, quais são. Se não, mostrar por meio da resolução do sistema por qualquer método.
Informações dadas que usarei: as três equações lineares com incógnitas x,y,z, e todas as igualdades têm 0 no lado direito (ou seja, é um sistema homogêneo).]

Passo 2

O que significa ser um sistema homogêneo e o que é solução trivial / não-trivial (mini-aula):
  • Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando todas as constantes do lado direito são zero. Aqui, todas as equações têm 0 no lado direito, então o sistema é homogêneo.
  • Sempre que um sistema homogêneo tem as incógnitas x,y,z, a solução x=0,\;y=0,\;z=0 é uma solução óbvia; essa é chamada de solução trivial.
  • Pergunta importante: além da solução trivial, existem soluções não-triviais (alguma variável diferente de zero)? Para responder, dois caminhos comuns:
    1. Resolver o sistema por eliminação (Gauss) e ver se surge uma família de soluções com parâmetros (infinitas soluções não-triviais) ou se chega só à solução trivial.
    2. Verificar se a matriz dos coeficientes é invertível (determinante diferente de zero). Para um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é a trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Se \det(A)=0, pode haver soluções não-triviais.
Vou aplicar os dois raciocínios: primeiro eliminação para ver o passo a passo, depois confirmar com determinante (para aprender esta outra ferramenta rápida).

Passo 3

Resolução por substituição/eliminação (passo a passo, bem mastigado):
Começo isolando x\) na terceira equação, porque ela é simples: \[x+y+4z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-y-4z.
Substituo x=-y-4z nas equações (1) e (2).
Substituição na (1):
2x-y-3z=0 \quad\Rightarrow\quad 2(-y-4z)-y-3z=0.
Calculo termo a termo:
-2y-8z-y-3z=0 \quad\Rightarrow\quad -3y-11z=0.
Multiplicando por -1 para ficar positivo:
3y+11z=0. \tag{A}
Substituição na (2):
-x+2y-3z=0 \quad\Rightarrow\quad -(-y-4z)+2y-3z=0.
Calculo:
y+4z+2y-3z=0 \quad\Rightarrow\quad 3y+z=0. \tag{B}
Agora resolvo o sistema formado por (A) e (B):
\begin{cases} 3y+11z=0\\[4pt] 3y+z=0 \end{cases}
Subtraio a segunda da primeira para eliminar y\]: \[(3y+11z)-(3y+z)=0-0 \quad\Rightarrow\quad 10z=0.\] Logo \[z=0.\] Substituo \(z=0 em (B):
3y+0=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
E volto em x=-y-4z:
x=-0-4\cdot 0=0.
Resultado da eliminação: x=0,\;y=0,\;z=0. Ou seja, só a solução trivial apareceu.]

Passo 4

Confirmação alternativa pelo determinante (mini-aula sobre critério do determinante):
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -3\\[4pt]-1 & 2 & -3\\[4pt]1 & 1 & 4\end{pmatrix}.
  • Para um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é \mathbf{x}=\mathbf{0}.
    Calculo \det(A) por expansão na primeira linha (fórmula de cofactores):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora os menores (cada um é um determinante 2\times2):
\det\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}=2\cdot4-(-3)\cdot1=8+3=11,
\det\begin{pmatrix}-1 & -3\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix}=(-1)\cdot4-(-3)\cdot1=-4+3=-1,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot1=-1-2=-3.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 11 -(-1)\cdot(-1) +(-3)\cdot(-3)=22-1+9=30.
Como \det(A)=30\neq0, concluímos pelo critério do determinante que a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial \,(0,0,0).]

Passo 5

Interpretação final e resposta às perguntas (curto e claro):
  • Classificação: é um sistema linear homogêneo com 3 equações e 3 incógnitas; a matriz dos coeficientes é invertível ( \det\neq0), logo o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
  • Solução trivial: x=0,\;y=0,\;z=0.
  • Soluções não-triviais: não, não existem soluções não-triviais — a única solução é a trivial (demonstrei tanto por eliminação quanto por \det(A)\neq0).

Resposta

a) Sistema homogêneo e compatível determinado (matriz dos coeficientes invertível, \det(A)=30\neq0).
b) (x,y,z)=(0,0,0).
c) Não; não há soluções não-triviais — a única solução é (0,0,0).

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