a) Como esse sistema de equações lineares é classificado?
b) Qual é a solução trivial desse sistema de equações lineares?
c) O sistema apresenta soluções não-triviais? Se sim, quais são. Se não, mostre por meio da resolução do sistema de equações lineares por qualquer método.
As perguntas são:
a) Como esse sistema de equações lineares é classificado?
b) Qual é a solução trivial desse sistema de equações lineares?
c) O sistema apresenta soluções não-triviais? Se sim, quais são. Se não, mostrar por meio da resolução do sistema por qualquer método.
Informações dadas que usarei: as três equações lineares com incógnitas x,y,z, e todas as igualdades têm 0 no lado direito (ou seja, é um sistema homogêneo).]
Passo 2
O que significa ser um sistema homogêneo e o que é solução trivial / não-trivial (mini-aula):
Dizemos que um sistema linear é homogêneo quando todas as constantes do lado direito são zero. Aqui, todas as equações têm 0 no lado direito, então o sistema é homogêneo.
Sempre que um sistema homogêneo tem as incógnitas x,y,z, a solução x=0,\;y=0,\;z=0 é uma solução óbvia; essa é chamada de solução trivial.
Pergunta importante: além da solução trivial, existem soluções não-triviais (alguma variável diferente de zero)? Para responder, dois caminhos comuns:
Resolver o sistema por eliminação (Gauss) e ver se surge uma família de soluções com parâmetros (infinitas soluções não-triviais) ou se chega só à solução trivial.
Verificar se a matriz dos coeficientes é invertível (determinante diferente de zero). Para um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é a trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}. Se \det(A)=0, pode haver soluções não-triviais.
Vou aplicar os dois raciocínios: primeiro eliminação para ver o passo a passo, depois confirmar com determinante (para aprender esta outra ferramenta rápida).
Passo 3
Resolução por substituição/eliminação (passo a passo, bem mastigado):
Começo isolando x\) na terceira equação, porque ela é simples:
\[x+y+4z=0 \quad\Rightarrow\quad x=-y-4z.
Para um sistema homogêneo A\mathbf{x}=\mathbf{0}, se \det(A)\neq0 então A é invertível e a única solução é \mathbf{x}=\mathbf{0}.
Calculo \det(A) por expansão na primeira linha (fórmula de cofactores):
Como \det(A)=30\neq0, concluímos pelo critério do determinante que a única solução do sistema homogêneo é a solução trivial \,(0,0,0).]
Passo 5
Interpretação final e resposta às perguntas (curto e claro):
Classificação: é um sistema linear homogêneo com 3 equações e 3 incógnitas; a matriz dos coeficientes é invertível (\det\neq0), logo o sistema é compatível determinado (tem exatamente uma solução).
Solução trivial: x=0,\;y=0,\;z=0.
Soluções não-triviais: não, não existem soluções não-triviais — a única solução é a trivial (demonstrei tanto por eliminação quanto por \det(A)\neq0).
Resposta
a) Sistema homogêneo e compatível determinado (matriz dos coeficientes invertível, \det(A)=30\neq0).
b) (x,y,z)=(0,0,0).
c) Não; não há soluções não-triviais — a única solução é (0,0,0).