(até \mathbf{2 , 5} pontos) Escolha um método de resolução - Gauss ou Gauss-Jordan e resolva o sistema de equações.
\left\{\begin{array}{c} 2 x-y+3 z=11 \\\\ 4 x-3 y+2 z=0 \\\ x+y+z=6 \\\\ 3 x+y+z=4 \end{array}\right.
Responda também: Qual foi o método que você escolheu?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\left\{\begin{array}{r} 2x-y+3z=11\\[4pt] 4x-3y+2z=0\\[4pt] x+y+z=6\\[4pt] 3x+y+z=4 \end{array}\right.
As informações fornecidas são as quatro equações acima, com as incógnitas x, y e z. O que se pede:
  • Encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente;
  • Dizer qual método foi escolhido para resolver o sistema.]

Passo 2

Escolhi o método de Gauss-Jordan. Motivação curta e prática: Gauss-Jordan reduz a matriz aumentada diretamente à forma reduzida por linhas (RREF), dando os valores de x,y,z de forma explícita e mostrando imediatamente se há contradição ou equações redundantes. Para começar, escrevemos a matriz aumentada do sistema (cada linha é uma equação; colunas são coeficientes de x,y,z e a coluna dos termos independentes):
\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)]

Passo 3

Primeiro passo prático da eliminação: obter um pivô igual a 1 na primeira linha para facilitar os cálculos. A terceira linha já tem 1 na primeira coluna, então troco a linha 1 com a linha 3 (operações elementares permitidas):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_3.
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 4 & -3 & 2 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 11\\[4pt] 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)]

Passo 4

Agora usamos o pivô 1 da primeira linha para zerar as entradas abaixo dele na coluna de x. Fazemos:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Cálculos linha a linha:
  • R_2 = (4,-3,2 \mid 0) - 4(1,1,1 \mid 6) = (0,-7,-2 \mid -24).
  • R_3 = (2,-1,3 \mid 11) - 2(1,1,1 \mid 6) = (0,-3,1 \mid -1).
  • R_4 = (3,1,1 \mid 4) - 3(1,1,1 \mid 6) = (0,-2,-2 \mid -14).
Matriz resultante:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -7 & -2 & -24\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -14 \end{array}\right)]

Passo 5

Agora precisamos de um pivô na segunda coluna. Para evitar grandes frações logo cedo, troco a linha 2 com a linha 3 (linha 3 tem -3 na coluna 2, mais simples que -7):
Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.
Matriz:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[4pt] 0 & -3 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -7 & -2 & -24\\[4pt] 0 & -2 & -2 & -14 \end{array}\right)]

Passo 6

Escalonamos o pivô da segunda linha para 1. A linha 2 é (0,-3,1 \mid -1). Dividimos por -3:
Operação: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-3}R_2.
Resultado:
R_2 = \left(0,1,-\dfrac{1}{3} \mid \dfrac{1}{3}\right).
Matriz:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\[6pt] 0 & 1 & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[6pt] 0 & -7 & -2 & -24\\[6pt] 0 & -2 & -2 & -14 \end{array}\right)]

Passo 7

Zeramos as entradas da segunda coluna nas outras linhas usando o pivô 1 em R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (pois R_1 tem 1 na coluna 2),
  • R_3 \leftarrow R_3 + 7R_2 (pois R_3 tem -7),
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2 (pois R_4 tem -2).
Cálculos:
  • R_1 = (1,1,1 \mid 6) - (0,1,-\tfrac{1}{3}\mid \tfrac{1}{3}) = (1,0,1+\tfrac{1}{3}\mid 6-\tfrac{1}{3}) = \left(1,0,\tfrac{4}{3}\mid \tfrac{17}{3}\right).
  • R_3 = (0,-7,-2\mid -24) +7(0,1,-\tfrac{1}{3}\mid \tfrac{1}{3}) = \left(0,0,-2-\tfrac{7}{3}\mid -24+\tfrac{7}{3}\right) = \left(0,0,-\tfrac{13}{3}\mid -\tfrac{65}{3}\right).
  • R_4 = (0,-2,-2\mid -14) +2(0,1,-\tfrac{1}{3}\mid \tfrac{1}{3}) = \left(0,0,-2-\tfrac{2}{3}\mid -14+\tfrac{2}{3}\right) = \left(0,0,-\tfrac{8}{3}\mid -\tfrac{40}{3}\right).
Matriz agora:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{17}{3}\\[8pt] 0 & 1 & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[8pt] 0 & 0 & -\dfrac{13}{3} & -\dfrac{65}{3}\\[8pt] 0 & 0 & -\dfrac{8}{3} & -\dfrac{40}{3} \end{array}\right)]

Passo 8

Terceira coluna: a linha 3 tem -\dfrac{13}{3} como entrada. Vamos escalonar para que o pivô seja 1. Observação útil: dividir a linha 3 por -\dfrac{13}{3} é o mesmo que multiplicar por -\dfrac{3}{13}. Fazendo isso obtemos:
Operação: R_3 \leftarrow \left(-\dfrac{3}{13}\right) R_3.
Resultado direto (dividindo -\tfrac{65}{3} por -\tfrac{13}{3} 5):
R_3 = \left(0,0,1 \mid 5\right).
Matriz:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \dfrac{4}{3} & \dfrac{17}{3}\\[8pt] 0 & 1 & -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[8pt] 0 & 0 & 1 & 5\\[8pt] 0 & 0 & -\dfrac{8}{3} & -\dfrac{40}{3} \end{array}\right)]

Passo 9

Agora zeramos a terceira coluna nas linhas 1, 2 e 4 usando o pivô 1 em R_3:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \dfrac{4}{3}R_3,
  • R_2 \leftarrow R_2 + \dfrac{1}{3}R_3 (pois em R_2 o coeficiente é -\tfrac{1}{3}),
  • R_4 \leftarrow R_4 + \dfrac{8}{3}R_3.
Cálculos:
  • Para R_1: \dfrac{17}{3} - \dfrac{4}{3}\cdot 5 = \dfrac{17}{3} - \dfrac{20}{3} = -\dfrac{3}{3} = -1. A terceira entrada fica 0. Logo R_1 = (1,0,0 \mid -1).
  • Para R_2: \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\cdot 5 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{6}{3} = 2. Assim R_2 = (0,1,0 \mid 2).
  • Para R_4: -\dfrac{40}{3} + \dfrac{8}{3}\cdot 5 = -\dfrac{40}{3} + \dfrac{40}{3} = 0. E a fila fica toda zero: R_4=(0,0,0\mid 0).
Matriz final em forma reduzida por linhas:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -1\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 5\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)]

Passo 10

Interpretação do resultado: a matriz em RREF mostra explicitamente as soluções:
x = -1,\qquad y = 2,\qquad z = 5.
A linha zero indica que a quarta equação era redundante (não adicionou informação nova). O sistema é consistente e tem solução única para (x,y,z).

Passo 11

Verificação rápida por substituição nas equações originais (para ter certeza):
  • Na equação \,2x-y+3z=11: calcular 2(-1)-2+3\cdot5 = -2-2+15=11. Confere.
  • Na equação \,4x-3y+2z=0: 4(-1)-3\cdot2+2\cdot5 = -4-6+10=0. Confere.
  • Na equação \,x+y+z=6: -1+2+5=6. Confere.
  • Na equação \,3x+y+z=4: 3(-1)+2+5=-3+7=4. Confere.

Resposta

Método escolhido: \text{Gauss-Jordan}
\,x=-1
\,y=2
\,z=5

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