Questão 7 Dados os vetores \vec{u}=-\vec{i}+\vec{j}-2 \vec{k} e \vec{v}=\vec{i}+3 \vec{j}+\vec{k}
(a) Encontre \vec{w} ortogonal a \vec{u} e \vec{v}
(b) Escreva o vetor \vec{a}=2 \vec{i}+\vec{j}-\vec{k} como combinação linear dos vetores \vec{u}, \vec{u}, \vec{w}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo com os valores exatos que aparecem no enunciado).
  • Vetores dados:
    • \vec{u}=-\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}. Em coordenadas: \vec{u}=(-1,\,1,\,-2).
    • \vec{v}=\vec{i}+3\vec{j}+\vec{k}. Em coordenadas: \vec{v}=(1,\,3,\,1).
  • Vetor alvo:
    • \vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}. Em coordenadas: \vec{a}=(2,\,1,\,-1).
As perguntas:
(a) Encontrar um vetor \vec{w} ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
(b) Escrever \vec{a} como combinação linear de \vec{u},\\ \vec{v},\\ \vec{w}, isto é, encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que \vec{a}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}.

Passo 2

Ideia para (a) e definição necessária (aula rápida e prática sobre produto vetorial).
  • Uma forma padrão de obter um vetor perpendicular a dois vetores em \mathbb{R}^3 é usar o produto vetorial (cross product): o vetor \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}.
  • Fórmula do produto vetorial para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3): \vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).Aqui cada componente é um determinante 2×2 simples; por exemplo a primeira componente é u_2v_3-u_3v_2.
  • Vou aplicar essa fórmula a \vec{u}=(-1,1,-2) e \vec{v}=(1,3,1).

Passo 3

Cálculo do produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}.
  • Usando a fórmula: \begin{aligned} (\vec{u}\times\vec{v})_1 &= u_2v_3 - u_3v_2 = (1)\cdot(1) - (-2)\cdot(3) = 1 + 6 = 7,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_2 &= u_3v_1 - u_1v_3 = (-2)\cdot(1) - (-1)\cdot(1) = -2 +1 = -1,\\[4pt] (\vec{u}\times\vec{v})_3 &= u_1v_2 - u_2v_1 = (-1)\cdot(3) - (1)\cdot(1) = -3 -1 = -4. \end{aligned}
  • Portanto um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v} é \vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = 7\vec{i}-\vec{j}-4\vec{k},ou em coordenadas \vec{w}=(7,\,-1,\,-4).]

Passo 4

Verificação rápida (por segurança e para fixar a ideia): calcular produtos escalares para confirmar ortogonalidade.
  • Produto escalar com \vec{u}: \vec{u}\cdot\vec{w}=(-1)\cdot7 + 1\cdot(-1) + (-2)\cdot(-4)= -7 -1 +8 =0.
  • Produto escalar com \vec{v}: \vec{v}\cdot\vec{w}=1\cdot7 + 3\cdot(-1) + 1\cdot(-4)= 7 -3 -4 =0.
  • Como ambos os produtos escalares deram zero, \vec{w} é realmente ortogonal a \vec{u} e \vec{v}.

Passo 5

Começar a parte (b): montar o sistema linear para achar \alpha,\beta,\gamma\). - Queremos \(\vec{a}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}+\gamma\vec{w}\). - Escrevendo por componentes, com \(\vec{u}=(-1,1,-2)\), \(\vec{v}=(1,3,1)\), \(\vec{w}=(7,-1,-4)\) e \(\vec{a}=(2,1,-1)\), obtemos o sistema: \[\begin{cases} -\alpha + \beta + 7\gamma = 2,\\[4pt] \alpha + 3\beta - \gamma = 1,\\[4pt] -2\alpha + \beta -4\gamma = -1. \end{cases}
  • Esse é um sistema de três equações lineares para as três incógnitas (\alpha,\beta,\gamma]. Vou resolver por substituição/eliminação.]

Passo 6

Resolução do sistema passo a passo (eliminação).
  • Da primeira equação isolo \beta: \beta = 2 + \alpha - 7\gamma.
  • Substituo esse \beta na segunda e na terceira equações.
Substituindo na segunda:
\alpha + 3(2+\alpha-7\gamma) - \gamma = 1.
Desenvolvendo:
\alpha + 6 + 3\alpha -21\gamma - \gamma = 1
4\alpha +6 -22\gamma = 1
4\alpha -22\gamma = -5. \qquad(4)
Substituindo na terceira:
-2\alpha + (2+\alpha-7\gamma) -4\gamma = -1.
Desenvolvendo:
-2\alpha +2 +\alpha -7\gamma -4\gamma = -1
-\alpha +2 -11\gamma = -1
-\alpha -11\gamma = -3
\alpha +11\gamma = 3. \qquad(5)

Passo 7

Continuar resolução combinando (4) e (5).
  • Da equação (5) já temos \alpha = 3 - 11\gamma.
  • Substituo em (4): 4(3-11\gamma) -22\gamma = -5.Desenvolvendo: 12 -44\gamma -22\gamma = -5
12 -66\gamma = -5
-66\gamma = -17
\gamma = \frac{17}{66}.
  • Agora obtenho \alpha pela (5): \alpha = 3 - 11\gamma = 3 - 11\cdot\frac{17}{66} = 3 - \frac{187}{66} = \frac{198-187}{66} = \frac{11}{66} = \frac{1}{6}.
  • E \beta pela expressão que tínhamos: \beta = 2 + \alpha -7\gamma = 2 + \frac{1}{6} - 7\cdot\frac{17}{66}.Calculo: 2+\frac{1}{6}=\frac{132+11}{66}=\frac{143}{66},\qquad 7\cdot\frac{17}{66}=\frac{119}{66},
\beta=\frac{143-119}{66}=\frac{24}{66}=\frac{4}{11}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida (fixando o método para a prova).
  • Obtivemos os escalares: \alpha=\frac{1}{6},\qquad \beta=\frac{4}{11},\qquad \gamma=\frac{17}{66}.
  • Opcionalmente dá para escrever tudo com denominador comum 66: \vec{a}=\frac{1}{66}\big(11\vec{u}+24\vec{v}+17\vec{w}\big),o que é a mesma solução e às vezes fica mais elegante ao apresentar em prova.
  • Se for pedir uma checagem rápida, basta substituir esses coeficientes na combinação e conferir que cada componente dá 2,1,-1 (já fizemos a verificação implicitamente ao resolver o sistema).

Resposta

(a) \vec{w}=7\vec{i}-\vec{j}-4\vec{k}.
(b) \displaystyle \vec{a}=\frac{1}{6}\vec{u}+\frac{4}{11}\vec{v}+\frac{17}{66}\vec{w}.

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