Questão 7 Dados os vetores
(a) Encontre
ortogonal a
(b) Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores
(a) Encontre
(b) Escreva o vetor
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (vou listar tudo com os valores exatos que aparecem no enunciado).
- Vetores dados:
-
. Em coordenadas: . -
. Em coordenadas: .
-
- Vetor alvo:
-
. Em coordenadas: .
-
As perguntas:
(a) Encontrar um vetor ortogonal a
e a
.
(b) Escrever como combinação linear de
, isto é, encontrar escalares
tais que
.
(a) Encontrar um vetor
(b) Escrever
Passo 2
Ideia para (a) e definição necessária (aula rápida e prática sobre produto vetorial).
- Uma forma padrão de obter um vetor perpendicular a dois vetores em
é usar o produto vetorial (cross product): o vetor é ortogonal tanto a quanto a . - Fórmula do produto vetorial para
e : Aqui cada componente é um determinante 2×2 simples; por exemplo a primeira componente é . - Vou aplicar essa fórmula a
e .
Passo 3
Cálculo do produto vetorial
.
- Usando a fórmula:
- Portanto um vetor ortogonal a
e é ou em coordenadas .]
Passo 4
Verificação rápida (por segurança e para fixar a ideia): calcular produtos escalares para confirmar ortogonalidade.
- Produto escalar com
: - Produto escalar com
: - Como ambos os produtos escalares deram zero,
é realmente ortogonal a e .
Passo 5
Começar a parte (b): montar o sistema linear para achar
- Esse é um sistema de três equações lineares para as três incógnitas (\alpha,\beta,\gamma]. Vou resolver por substituição/eliminação.]
Passo 6
Resolução do sistema passo a passo (eliminação).
- Da primeira equação isolo
: - Substituo esse
na segunda e na terceira equações.
Substituindo na segunda:
Desenvolvendo:
Substituindo na terceira:
Desenvolvendo:
Passo 7
Continuar resolução combinando (4) e (5).
- Da equação (5) já temos
. - Substituo em (4):
Desenvolvendo:
- Agora obtenho
pela (5): - E
pela expressão que tínhamos: Calculo:
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida (fixando o método para a prova).
- Obtivemos os escalares:
- Opcionalmente dá para escrever tudo com denominador comum
: o que é a mesma solução e às vezes fica mais elegante ao apresentar em prova. - Se for pedir uma checagem rápida, basta substituir esses coeficientes na combinação e conferir que cada componente dá
(já fizemos a verificação implicitamente ao resolver o sistema).
Resposta
(a)
(b)