Até o momento, encontramos o seno, o cosseno e a tangente de alguns ângulos usando: a trigonometria do triângulo retângulo, geometria e as seguintes fórmulas.
\begin{aligned} & \cos (\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \operatorname{sen} \alpha \operatorname{sen} \beta \\\ & \operatorname{sen}(\alpha \pm \beta)=\operatorname{sen} \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \operatorname{sen} \beta \end{aligned}
Usando as fórmulas acima, encontrar:
a) \operatorname{sen} \frac{2 \pi}{3}, \cos \frac{2 \pi}{3}, \tan \frac{2 \pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}, \cos\frac{2\pi}{3} e \tan\frac{2\pi}{3} usando as fórmulas de soma e diferença de ângulos
\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta, \quad \operatorname{sen}(\alpha\pm\beta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\operatorname{sen}\beta.
Para isso, vamos reescrever \frac{2\pi}{3} como \pi-\frac{\pi}{3} e usar valores conhecidos de seno e cosseno em \pi e \frac{\pi}{3}.

Passo 2

Lembrando os valores básicos:
\cos\pi=-1,\quad \operatorname{sen}\pi=0, \quad \cos\frac{\pi}{3}=\frac12,\quad \operatorname{sen}\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do cosseno para diferença de ângulos:
\cos\frac{2\pi}{3} =\cos\Bigl(\pi-\frac{\pi}{3}\Bigr) =\cos\pi\cos\frac{\pi}{3}+\operatorname{sen}\pi\,\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} =-1\cdot\frac12+0\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =-\frac12.

Passo 4

Aplicando a fórmula do seno para diferença de ângulos:
\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3} =\operatorname{sen}\Bigl(\pi-\frac{\pi}{3}\Bigr) =\operatorname{sen}\pi\cos\frac{\pi}{3}-\cos\pi\,\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} =0\cdot\frac12-(-1)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

A tangente é a razão entre seno e cosseno:
\tan\frac{2\pi}{3} =\frac{\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}}{\cos\frac{2\pi}{3}} =\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac12} =-\sqrt{3}.

Resposta

\operatorname{sen}\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12 \tan\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}

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