Quando não há nada em nosso campo de visão para julgar o tamanho de um objeto, percebemos que o objeto é menor quando está mais longe. Por exemplo, o Sol é muito maior do que a Lua, mas percebemos que o Sol tem aproximadamente o mesmo tamanho da Lua porque o Sol está muito mais longe da Terra. Assim, o tamanho de um objeto depende não só do seu tamanho, mas também do ângulo que subtende aos nossos olhos. A medida deste ângulo é chamada de tamanho aparente do objeto.
Júpiter tem um tamanho aparente de 0,01^{\circ} quando está a 8 \times 10^{8} \mathrm{~km} da Terra. Encontre o diâmetro aproximado de Júpiter. [Resposta: \approx 140.000 \mathrm{~km} ]

Passo 1

O enunciado diz que Júpiter subtende um ângulo aparente de \theta = 0{,}01^\circ quando está a uma distância r = 8 \times 10^8\text{ km} da Terra. Para estimar o diâmetro real D de Júpiter, vamos usar a relação geométrica válida para pequenas aberturas, que relaciona D, \theta (em radianos) e r:
\theta \approx \frac{D}{r}\,.

Passo 2

Precisamos primeiro converter \theta de graus para radianos. Como
1^\circ = \frac{\pi}{180}\\ \text{rad},
temos
\theta_{\rm rad} = 0{,}01^\circ \times \frac{\pi}{180} = 0{,}01 \times \frac{\pi}{180}\\ \text{rad} \approx 1{,}745\times10^{-4}\\ \text{rad}.

Passo 3

Pela aproximação de pequeno ângulo, a relação entre \theta_{\rm rad}, D e r é
\theta_{\rm rad} \approx \frac{D}{r} \quad\Longrightarrow\quad D \approx r\,\theta_{\rm rad}\,.

Passo 4

Substituindo r = 8\times10^8\text{ km} e \theta_{\rm rad}\approx1{,}745\times10^{-4}, obtém-se
D \approx 8\times10^8 \times 1{,}745\times10^{-4}\\ \text{km} \approx 1{,}396\times10^5\\ \text{km}.

Resposta

O diâmetro aproximado de Júpiter é
D \approx 1,4\times10^5\text{ km},
ou seja, cerca de 140.000\text{ km}.

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