Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
f(x)=\frac{1}{2} x-\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada (limite do quociente incremental) na função
f(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}.
Como não há divisão por zero ou raiz de índice par de expressão negativa, o domínio de f é todo \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos montar o quociente incremental. Primeiro,
f(x+h)=\frac{1}{2}(x+h)-\frac{1}{3} =\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}h-\frac{1}{3}.
Então
f(x+h)-f(x) =\Bigl(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}h-\frac{1}{3}\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}\Bigr) =\frac{1}{2}h.
Logo o quociente é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\tfrac{1}{2}h}{h} =\frac{1}{2},
para todo h\neq0.

Passo 3

Fazendo h\to0, o limite do quociente incremental é
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{1}{2}.
Portanto a derivada existe e é constante igual a \tfrac12.

Passo 4

Como f'(x)=\tfrac12 independe de x, ela está bem definida para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio de f' também é \mathbb{R}.

Resposta

Domínio de f: \mathbb{R} f'(x)=\dfrac{1}{2}
Domínio de f': \mathbb{R}

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