Defina
X: Omega S por X(w)=sumi=1^n Yi(wi) ; forall w=(w1, cdots, wn) in Omega ;
onde
(para cada i=1, cdots, n) Yi: B S, Yi(w):=ll1, & se w=V 0, & se w=F.
Em cada um dos seguintes casos.quantos e quais são os elementos do conjunto X^-1(B) ?
iii) B=1,2,3

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um espaço Ω de todas as sequências X(w)=sumi=1^n Yi(wi), onde cada é “V” ou “F”. A função
onde cada vale 1 se e 0 se . Ou seja, conta quantos “V” aparecem na sequência. A matéria envolve probabilidade básica/combinatória e imagem inversa de conjuntos. Vamos usar:
  • Definição de .
  • Contagem via coeficientes binomiais .

Passo 2

O que é X^-1(B)=,winOmega : X(w)in B ? Por definição,
Aqui , então queremos todas as sequências com exatamente 1, 2 ou 3 letras “V”.

Passo 3

Como contar as sequências com exatamente binomnk “V”?
Cada escolha de posições (de um total ) para colocar “V” e nas outras colocamos “F”. O número de jeitos de escolher essas posições é o coeficiente binomial

Passo 4

Então o conjunto procurado é
X^-1(1,2,3) =cupk=1^3,winOmega : w tem exatamente k V
Em outras palavras, são TODAS as tuplas de comprimento que têm 1 “V” (e “F”), ou 2 “V” (e “F”), ou 3 “V” (e “F”).

Passo 5

Agora, quantos elementos tem esse conjunto? Basta somar as quantidades para l|tuplas com k Vr|=binomnk, :
l|X^-1(1,2,3)r| =sumk=1^3binomnk =binomn1+binomn2+binomn3
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Resposta

binomn1+binomn2+binomn3 é o conjunto de todas as sequências de elementos que têm exatamente 1, 2 ou 3 ocorrências de “V” (e o resto “F”). O número total de elementos é

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