Até que temperatura uma barra cilíndrica de tungstênio com
de diâmetro e uma placa de aço 1025 com um orifício circular de
de diâmetro devem ser aquecidos para que a barra se ajuste exatamente no interior do buraco? Considere que a temperatura inicial seja de
.
Passo 1
O enunciado pede a temperatura até a qual a barra de tungstênio e a placa de aço devem ser aquecidas para que a barra caiba exatamente no orifício. Dados fornecidos:
- Diâmetro inicial da barra de tungstênio:
. - Diâmetro inicial do orifício na placa de aço 1025:
. - Temperatura inicial:
.
O que se quer encontrar: a temperatura final
tal que o diâmetro final da barra seja igual ao diâmetro final do orifício:
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): quando um corpo sólido é aquecido, comprimentos lineares (como diâmetros) aumentam aproximadamente de acordo com a lei da dilatação linear. A fórmula é
onde:
-
é a variação do comprimento (ou diâmetro) quando a temperatura varia, -
é o coeficiente linear de dilatação térmica (por grau Celsius) do material, -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura.
Da fórmula anterior segue que o comprimento (ou diâmetro) à temperatura
é
Podemos aplicar essa relação aos diâmetros da barra e do orifício, pois o diâmetro é uma dimensão linear.
Passo 3
Escrever as expressões dos diâmetros finais em função de
:
onde
é o coeficiente de dilatação do tungstênio e
o do aço 1025, e
.
Condição de ajuste exato:
Passo 4
Resolver a equação acima para
. Desenvolvendo:
Isolando
:
portanto
Note que
(a barra é maior inicialmente), e o denominador deve ser positivo (o aço tem coeficiente maior que o tungstênio) para que
seja positivo.
Passo 5
Escolher valores típicos para os coeficientes de dilatação térmica (valores tabelados, assumindo que
é aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado):
- coeficiente do tungstênio:
, - coeficiente do aço carbono (AISI 1025 aproximado):
.
Observação didática: os coeficientes variam um pouco com a liga e com a temperatura; aqui usamos valores típicos. Se a sua tabela der outro valor para
, troque nos cálculos.
Passo 6
Substituir os números na fórmula de
. Primeiro os dados numéricos:
Calcular o denominador:
Fazendo em etapas:
Subtraindo:
Agora
:
Passo 7
Temperatura final:
Arredondando para um valor prático:
Passo 8
Cheque rápido (verificação): calcular os diâmetros finais aproximados com
e
.
Os valores coincidem dentro do arredondamento, confirmando o resultado.
Passo 9
Observações finais e dicas para prova:
- A ideia-chave é usar dilatação linear para diâmetros e igualar as duas dimensões finais. Sempre escreva claramente
. - Preste atenção aos valores de
na tabela que o professor fornecer; resultados mudam um pouco se usar outro valor. - Supondo aquecimento uniforme e sem tensões residuais, o procedimento acima vale. Na prática, costuma-se aquecer mais a peça que vai entrar (ou resfriar a outra) para criar folga — aqui calculamos a temperatura para ajuste sem folga.