Até que temperatura uma barra cilíndrica de tungstênio com 15,025 \mathrm{~mm} de diâmetro e uma placa de aço 1025 com um orifício circular de 15,000 \mathrm{~mm} de diâmetro devem ser aquecidos para que a barra se ajuste exatamente no interior do buraco? Considere que a temperatura inicial seja de 25^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a temperatura até a qual a barra de tungstênio e a placa de aço devem ser aquecidas para que a barra caiba exatamente no orifício. Dados fornecidos:
  • Diâmetro inicial da barra de tungstênio: d_{W0}=15{,}025\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro inicial do orifício na placa de aço 1025: d_{S0}=15{,}000\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura inicial: T_0=25^\circ\mathrm{C}.
O que se quer encontrar: a temperatura final T tal que o diâmetro final da barra seja igual ao diâmetro final do orifício:
d_W(T)=d_S(T).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): quando um corpo sólido é aquecido, comprimentos lineares (como diâmetros) aumentam aproximadamente de acordo com a lei da dilatação linear. A fórmula é
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação do comprimento (ou diâmetro) quando a temperatura varia,
  • \alpha é o coeficiente linear de dilatação térmica (por grau Celsius) do material,
  • L_0 é o comprimento inicial,
  • \Delta T=T-T_0 é a variação de temperatura.
Da fórmula anterior segue que o comprimento (ou diâmetro) à temperatura T é
L(T)=L_0\bigl(1+\alpha\,\Delta T\bigr).
Podemos aplicar essa relação aos diâmetros da barra e do orifício, pois o diâmetro é uma dimensão linear.

Passo 3

Escrever as expressões dos diâmetros finais em função de \Delta T:
d_W(T)=d_{W0}\bigl(1+\alpha_W\,\Delta T\bigr), \qquad d_S(T)=d_{S0}\bigl(1+\alpha_S\,\Delta T\bigr),
onde \alpha_W é o coeficiente de dilatação do tungstênio e \alpha_S o do aço 1025, e \Delta T=T-T_0.
Condição de ajuste exato:
d_{W0}\bigl(1+\alpha_W\,\Delta T\bigr)=d_{S0}\bigl(1+\alpha_S\,\Delta T\bigr).

Passo 4

Resolver a equação acima para \Delta T. Desenvolvendo:
d_{W0}+d_{W0}\,\alpha_W\,\Delta T = d_{S0}+d_{S0}\,\alpha_S\,\Delta T.
Isolando \Delta T:
d_{W0}-d_{S0} = \bigl(d_{S0}\,\alpha_S - d_{W0}\,\alpha_W\bigr)\,\Delta T,
portanto
\Delta T = \dfrac{d_{W0}-d_{S0}}{d_{S0}\,\alpha_S - d_{W0}\,\alpha_W}.
Note que d_{W0}-d_{S0}=0{,}025\\ \mathrm{mm} (a barra é maior inicialmente), e o denominador deve ser positivo (o aço tem coeficiente maior que o tungstênio) para que \Delta T seja positivo.

Passo 5

Escolher valores típicos para os coeficientes de dilatação térmica (valores tabelados, assumindo que \alpha é aproximadamente constante no intervalo de temperatura considerado):
  • coeficiente do tungstênio: \alpha_W \approx 4{,}5\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1},
  • coeficiente do aço carbono (AISI 1025 aproximado): \alpha_S \approx 11{,}7\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
Observação didática: os coeficientes variam um pouco com a liga e com a temperatura; aqui usamos valores típicos. Se a sua tabela der outro valor para \alpha, troque nos cálculos.

Passo 6

Substituir os números na fórmula de \Delta T. Primeiro os dados numéricos:
d_{W0}-d_{S0}=15{,}025-15{,}000=0{,}025\\ \mathrm{mm}.
Calcular o denominador:
d_{S0}\,\alpha_S - d_{W0}\,\alpha_W =15{,}000\times 11{,}7\times10^{-6} - 15{,}025\times 4{,}5\times10^{-6}.
Fazendo em etapas:
15{,}000\times 11{,}7\times10^{-6}=15\times11{,}7\times10^{-3}=175{,}5\times10^{-3}=1{,}755\times10^{-4}\\ \mathrm{mm/^\circ C},
15{,}025\times 4{,}5\times10^{-6}=15{,}025\times4{,}5\times10^{-6}=67{,}6125\times10^{-6}=6{,}76125\times10^{-5}\\ \mathrm{mm/^\circ C}.
Subtraindo:
d_{S0}\,\alpha_S - d_{W0}\,\alpha_W = 1{,}755\times10^{-4} - 6{,}76125\times10^{-5} = 1{,}078875\times10^{-4}\\ \mathrm{mm/^\circ C}.
Agora \Delta T:
\Delta T = \dfrac{0{,}025}{1{,}078875\times10^{-4}} \approx 231{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Temperatura final:
T = T_0 + \Delta T = 25^\circ\mathrm{C} + 231{,}6^\circ\mathrm{C} \approx 256{,}6^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para um valor prático:
T \approx 257^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Cheque rápido (verificação): calcular os diâmetros finais aproximados com T\approx257^\circ\mathrm{C} e \Delta T\approx231{,}6^\circ\mathrm{C}.
d_W(T)=15{,}025\bigl(1+4{,}5\times10^{-6}\times231{,}6\bigr)\approx15{,}025\bigl(1+0{,}0010422\bigr)\approx15{,}0407\\ \mathrm{mm},
d_S(T)=15{,}000\bigl(1+11{,}7\times10^{-6}\times231{,}6\bigr)\approx15{,}000\bigl(1+0{,}0027097\bigr)\approx15{,}0406\\ \mathrm{mm}.
Os valores coincidem dentro do arredondamento, confirmando o resultado.

Passo 9

Observações finais e dicas para prova:
  • A ideia-chave é usar dilatação linear para diâmetros e igualar as duas dimensões finais. Sempre escreva claramente d(T)=d_0(1+\alpha\Delta T).
  • Preste atenção aos valores de \alpha na tabela que o professor fornecer; resultados mudam um pouco se usar outro valor.
  • Supondo aquecimento uniforme e sem tensões residuais, o procedimento acima vale. Na prática, costuma-se aquecer mais a peça que vai entrar (ou resfriar a outra) para criar folga — aqui calculamos a temperatura para ajuste sem folga.

Resposta

T \approx 257^\circ\mathrm{C}

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