ATENÇĀO: Escolha aqui três questōes para serem corrigidas: AQ1 XQ2 (XQ3 ()Q4
(4) (2,0 pts) A base de um sólido é o quadrado de vértices localizados nos pontos (1,0),(0,1),(-1,0) e (0,-1). Cada seçảo transversal perpendicular ao eixo x é um semicírculo. Ache o volume deste sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido cuja base é um quadrado com vértices nos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). Além disso, cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um semicírculo. Nosso objetivo é descobrir o volume desse sólido.
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente integração para encontrar volumes usando seções transversais.
O que vamos precisar: Entender como expressar a área de um semicírculo em termos de x e integrar isso ao longo do eixo x para achar o volume total.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o quadrado base. Os vértices estão nos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). Isso forma um quadrado inclinado 45 graus em relação aos eixos coordenados.
Para qualquer valor de x entre -1 e 1, a altura do quadrado (distância vertical) pode ser expressa como y = 1 - |x|. Isso porque, por exemplo, quando x = 0, y = 1, e quando x = pm1, y = 0.

Passo 3

Cada seção transversal perpendicular ao eixo x é um semicírculo. O diâmetro desse semicírculo é igual à altura do quadrado naquele x, que já sabemos ser 2y = 2(1 - |x|).
Então, o raio r do semicírculo é metade do diâmetro:
r = 2(1 - |x|)2 = 1 - |x|

Passo 4

A área A de um semicírculo é metade da área de um círculo completo. A fórmula da área de um círculo é A = pi r^2, então a área do semicírculo será:
A = 12 pi r^2 = 12 pi (1 - |x|)^2

Passo 5

Para encontrar o volume total do sólido, precisamos integrar a área da seção transversal ao longo do eixo x, de x = -1 a x = 1:
V = integral-1^1 12 pi (1 - |x|)^2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integração. Devido à simetria do problema, podemos integrar de 0 a 1 e multiplicar por 2:
V = 2 times integral0^1 12 pi (1 - x)^2 , dx = pi integral0^1 (1 - x)^2 , dx

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
integral (1 - x)^2 , dx = integral (1 - 2x + x^2) , dx = x - x^2 + x^33 + C
Avaliada de 0 a 1, temos:
[1 - 1 + 13] - [0 - 0 + 0] = 13

Passo 8

Multiplicando pela constante pi, temos:
V = pi times 13 = pi3

Resposta

O volume do sólido é dfracpi3.

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