ATENÇĀO: Escolha aqui três questōes para serem corrigidas: AQ1 XQ2 (XQ3 ()Q4
(4)
A base de um sólido é o quadrado de vértices localizados nos pontos
e
. Cada seçảo transversal perpendicular ao eixo
é um semicírculo. Ache o volume deste sólido.
(4)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido cuja base é um quadrado com vértices nos pontos
,
,
e
. Além disso, cada seção transversal perpendicular ao eixo
é um semicírculo. Nosso objetivo é descobrir o volume desse sólido.
Matéria envolvida: Cálculo integral, especificamente integração para encontrar volumes usando seções transversais.
O que vamos precisar: Entender como expressar a área de um semicírculo em termos de
e integrar isso ao longo do eixo
para achar o volume total.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o quadrado base. Os vértices estão nos pontos
,
,
e
. Isso forma um quadrado inclinado 45 graus em relação aos eixos coordenados.
Para qualquer valor de
entre
e
, a altura do quadrado (distância vertical) pode ser expressa como
. Isso porque, por exemplo, quando
,
, e quando
,
.
Passo 3
Cada seção transversal perpendicular ao eixo
é um semicírculo. O diâmetro desse semicírculo é igual à altura do quadrado naquele
, que já sabemos ser
.
Então, o raio
do semicírculo é metade do diâmetro:
Passo 4
A área
de um semicírculo é metade da área de um círculo completo. A fórmula da área de um círculo é
, então a área do semicírculo será:
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, precisamos integrar a área da seção transversal ao longo do eixo
, de
a
:
Passo 6
Vamos simplificar a integração. Devido à simetria do problema, podemos integrar de
a
e multiplicar por
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
Avaliada de
a
, temos:
Passo 8
Multiplicando pela constante
, temos:
Resposta
O volume do sólido é
.