Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial abaixo:
y^prime prime+2 y^prime+3 y=sen t+de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e precisa resolver usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
y^prime prime + 2 y^prime + 3 y = sin t + de
O conteúdo que vamos usar aqui são as Equações Diferenciais Lineares e a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (s), facilitando a resolução. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada e depois inverter para achar a solução no tempo.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de uma derivada fica assim:
Ly' = s Y(s) - y(0)
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como y(0) = 0 e y'(0) = 0, simplifica para:
Ly'' = s^2 Y(s)
Ly' = s Y(s)
Agora, aplicando a transformada na equação:
s^2 Y(s) + 2s Y(s) + 3 Y(s) = Lsin t + Lde

Passo 3

Vamos transformar o lado direito da equação. Sabemos que:
Lsin t = 1s^2 + 1
E para o impulso de Dirac:
Lde
Então, substituindo a = 3pi:
Lde
Portanto, a equação fica:
s^2 Y(s) + 2s Y(s) + 3 Y(s) = 1s^2 + 1 + e^-3pi s

Passo 4

Agora, vamos isolar Y(s) na equação:
Y(s) (s^2 + 2s + 3) = 1s^2 + 1 + e^-3pi s
Então:
Y(s) = 1(s^2 + 2s + 3)(s^2 + 1) + e^-3pi ss^2 + 2s + 3

Passo 5

Para inverter a Transformada de Laplace, precisamos simplificar as frações. Primeiro, vamos fatorar o denominador s^2 + 2s + 3. Completando o quadrado:
s^2 + 2s + 3 = (s + 1)^2 + 2
Então, reescrevemos Y(s):
Y(s) = 1[(s + 1)^2 + 2](s^2 + 1) + e^-3pi s(s + 1)^2 + 2
Essa forma nos ajuda a usar tabelas de transformadas para encontrar a inversa.

Passo 6

Vamos separar a primeira fração usando frações parciais ou reconhecer padrões de transformadas conhecidas. A parte sem o termo exponencial corresponde à solução homogênea e particular da equação.
Para simplificar, a inversa da primeira parte envolve convolução, mas para deixar mais acessível, podemos reconhecer que:
L^-11(s + 1)^2 + 2 = e^-t sin(raiz2 t)
L^-11s^2 + 1 = sin t
Portanto, a inversa completa pode ser expressa como uma combinação dessas funções mais a parte com o impulso.

Passo 7

Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace para toda a expressão:
y(t) = e^-t sin(raiz2 t) * sin t + e^-(t - 3pi) sin(raiz2 (t - 3pi)) u(t - 3pi)
Onde * representa a convolução e u(t - 3pi) é a função degrau de Heaviside.

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:
y(t) = e^-t sin(raiz2 t) + e^-(t - 3pi) sin(raiz2 (t - 3pi)) u(t - 3pi)

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