Usar a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e precisa resolver usando a Transformada de Laplace. O enunciado é:
O conteúdo que vamos usar aqui são as Equações Diferenciais Lineares e a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace ajuda a transformar equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência (s), facilitando a resolução. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada e depois inverter para achar a solução no tempo.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a transformada de uma derivada fica assim:
Como
e
, simplifica para:
Agora, aplicando a transformada na equação:
Passo 3
Vamos transformar o lado direito da equação. Sabemos que:
E para o impulso de Dirac:
Então, substituindo
:
Portanto, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação:
Então:
Passo 5
Para inverter a Transformada de Laplace, precisamos simplificar as frações. Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Completando o quadrado:
Então, reescrevemos
:
Essa forma nos ajuda a usar tabelas de transformadas para encontrar a inversa.
Passo 6
Vamos separar a primeira fração usando frações parciais ou reconhecer padrões de transformadas conhecidas. A parte sem o termo exponencial corresponde à solução homogênea e particular da equação.
Para simplificar, a inversa da primeira parte envolve convolução, mas para deixar mais acessível, podemos reconhecer que:
Portanto, a inversa completa pode ser expressa como uma combinação dessas funções mais a parte com o impulso.
Passo 7
Finalmente, aplicando a Transformada Inversa de Laplace para toda a expressão:
Onde
representa a convolução e
é a função degrau de Heaviside.
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: