Determinar a matriz fundamental psi(t) do sistema de equações
x^prime=(rrr 0 & 0 & -1 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 4 ) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, representado pela matriz:
x^prime = 0 & 0 & -1 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 4 x
Nosso objetivo é encontrar a matriz fundamental psi(t) desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear e equações diferenciais, como autovalores, autovetores e a solução geral de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes, que nesse caso é:
A = 0 & 0 & -1 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 4
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos calcular a matriz A - lambda I:
A - lambda I = -lambda & 0 & -1 2 & -lambda & 0 -1 & 2 & 4 - lambda
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -lambda cdot det -lambda & 0 2 & 4 - lambda - 0 cdot det 2 & 0 -1 & 4 - lambda -1 cdot det 2 & -lambda -1 & 2
Simplificando:
= -lambda [(-lambda)(4 - lambda) - (0)(2)] - 0 + (-1)[(2)(2) - (-lambda)(-1)]
= -lambda (-4lambda + lambda^2) - (4 - lambda)
= 4lambda^2 - lambda^3 - 4 + lambda
Rearranjando:
-lambda^3 + 4lambda^2 + lambda - 4 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 4lambda^2 - lambda + 4 = 0

Passo 4

Agora, resolvemos a equação cúbica:
lambda^3 - 4lambda^2 - lambda + 4 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes da equação por tentativa. Testando lambda = 1:
1 - 4 - 1 + 4 = 0
Então, lambda = 1 é uma raiz. Agora, vamos fatorar (lambda - 1):
Dividindo o polinômio por (lambda - 1), obtemos:
(lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda - 4) = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52
Então, as soluções são:
lambda = 3 + 52 = 4 e lambda = 3 - 52 = -1
Portanto, os autovalores são lambda1 = 1, lambda2 = 4 e lambda3 = -1.

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Isso vai nos ajudar a construir as soluções do sistema.
Para lambda1 = 1:
Resolvemos (A - I)v = 0:

$$
-1 & 0 & -1 2 & -1 & 0 -1 & 2 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0
- v1 - v3 = 0 2 v1 - v2 = 0 - v1 + 2 v2 + 3 v3 = 0

v1 = 1 2 -1
$$
Isso nos dá o sistema:
lambda2 = 4
Resolvendo, encontramos um autovetor, por exemplo:
(A - 4I)v = 0
Para -4 & 0 & -1 2 & -4 & 0 -1 & 2 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos -4 v1 - v3 = 0 2 v1 - 4 v2 = 0 - v1 + 2 v2 = 0 :

$$
v2 = 1 0.5 -4
lambda3 = -1

(A + I)v = 0
$$
Isso nos dá o sistema:
1 & 0 & -1 2 & 1 & 0 -1 & 2 & 5 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, encontramos um autovetor, por exemplo:
v1 - v3 = 0 2 v1 + v2 = 0 - v1 + 2 v2 + 5 v3 = 0
Para v3 = 1 -2 1 :
Resolvemos :

$$

$$
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos um autovetor, por exemplo:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever as soluções do sistema. Cada autovalor lambda gera uma solução da forma:
x(t) = e^lambda t v
Onde v é o autovetor correspondente.
Assim, as soluções são:
x1(t) = e^1 t 1 2 -1 = e^t 1 2 -1
x2(t) = e^4 t 1 0.5 -4
x3(t) = e^-1 t 1 -2 1 = e^-t 1 -2 1

Passo 7

A matriz fundamental psi(t) é formada pelas soluções lineares independentes do sistema, organizadas como colunas. Portanto, juntamos as soluções encontradas:
psi(t) = e^t & e^4 t & e^-t 2 e^t & 0.5 e^4 t & -2 e^-t - e^t & -4 e^4 t & e^-t

Resposta

A matriz fundamental psi(t) do sistema é:
psi(t) = e^t & e^4 t & e^-t 2 e^t & 0.5 e^4 t & -2 e^-t - e^t & -4 e^4 t & e^-t

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