Determinar a matriz fundamental do sistema de equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem, representado pela matriz:
x^prime = 0 & 0 & -1 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 4 x
Nosso objetivo é encontrar a matriz fundamentalpsi(t) desse sistema. Para isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra linear e equações diferenciais, como autovalores, autovetores e a solução geral de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz dos coeficientes, que nesse caso é:
A = 0 & 0 & -1 2 & 0 & 0 -1 & 2 & 4
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Vamos tentar encontrar as raízes da equação por tentativa. Testando lambda = 1:
1 - 4 - 1 + 4 = 0
Então, lambda = 1 é uma raiz. Agora, vamos fatorar (lambda - 1):
Dividindo o polinômio por (lambda - 1), obtemos:
(lambda - 1)(lambda^2 - 3lambda - 4) = 0
Agora, resolvemos a equação quadrática:
lambda^2 - 3lambda - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52
Então, as soluções são:
lambda = 3 + 52 = 4 e lambda = 3 - 52 = -1
Portanto, os autovalores são lambda1 = 1, lambda2 = 4 e lambda3 = -1.
Passo 5
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles. Isso vai nos ajudar a construir as soluções do sistema.
Resolvendo, encontramos um autovetor, por exemplo:
v1 - v3 = 0 2 v1 + v2 = 0 - v1 + 2 v2 + 5 v3 = 0
Para v3 = 1 -2 1 :
Resolvemos :
$$
$$
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos um autovetor, por exemplo:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever as soluções do sistema. Cada autovalor lambda gera uma solução da forma:
x(t) = e^lambda t v
Onde v é o autovetor correspondente.
Assim, as soluções são:
x1(t) = e^1 t 1 2 -1 = e^t 1 2 -1
x2(t) = e^4 t 1 0.5 -4
x3(t) = e^-1 t 1 -2 1 = e^-t 1 -2 1
Passo 7
A matriz fundamentalpsi(t) é formada pelas soluções lineares independentes do sistema, organizadas como colunas. Portanto, juntamos as soluções encontradas:
psi(t) = e^t & e^4 t & e^-t 2 e^t & 0.5 e^4 t & -2 e^-t - e^t & -4 e^4 t & e^-t
Resposta
A matriz fundamental psi(t) do sistema é:
psi(t) = e^t & e^4 t & e^-t 2 e^t & 0.5 e^4 t & -2 e^-t - e^t & -4 e^4 t & e^-t