Resolva conforme o que se pede nos itens abaixo:
Calcule f^(3)(9), se f(-t)=x g(raizx), g^prime(3)=6, g^prime prime(3)=1 e g^(3)(3)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a terceira derivada de $ f $ no ponto 9, ou seja, $ f^{(3)}(9) $. Para isso, a gente tem a relação $ f(-t) = x g(\sqrt{x}) $ e as derivadas de $ g $ em $ x = 3 $:
  • $ g’(3) = 6 $
  • $ g’’(3) = 1 $
  • $ g^{(3)}(3) = 2 $
Vamos usar conceitos de derivadas e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre $ f $ e $ g $. A equação nos dá $ f(-t) = x g(\sqrt{x}) $. Precisamos expressar $ f(t) $ em termos de $ g $. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja $ t = -x $, então $ x = -t $. Substituindo na equação:
f
Isso significa que:
g
Então, $ f(t) = t g(\sqrt{t}) $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a terceira derivada de $ f(t) $. Vamos calcular as derivadas passo a passo usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeira derivada de $ f(t) $:
f(t)
Agora, aplicando a regra da cadeia na segunda parte:
f(t)
Então,
f'(t) = ddt [t cdot g(raizt)] = g(raizt) + t cdot ddt [g(raizt)]

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(t) $:
f''(t)
Derivando cada termo separadamente:
Primeiro termo:
f''(t) = ddt [ g(raizt) + raizt2 g'(raizt) ]
Segundo termo:
ddt g(raizt) = g'(raizt) cdot 12raizt
Então, somando os dois termos:
ddt ( raizt2 g'(raizt) ) = 12 cdot 12raizt g'(raizt) + raizt2 cdot g''(raizt) cdot 12raizt = 14raizt g'(raizt) + 14 g''(raizt)
Simplificando:
f''(t) = g'(raizt)2raizt + g'(raizt)4raizt + g''(raizt)4

Passo 5

Vamos agora calcular a terceira derivada $ f^{(3)}(t) $:
f^(3)(t)
Derivando cada termo:
Primeiro termo:
f^(3)(t) = ddt [ 3g'(raizt)4raizt + g''(raizt)4 ]
Simplificando:
ddt ( 3g'(raizt)4raizt ) = 34 ( g''(raizt) cdot 12raizt cdot raizt - g'(raizt) cdot 12raizt t )
Segundo termo:
34 ( g''(raizt)2t - g'(raizt)2t ) = 38t ( g''(raizt) - g'(raizt) )
Então, juntando tudo:
ddt ( g''(raizt)4 ) = 14 cdot g'''(raizt) cdot 12raizt = g'''(raizt)8raizt

Passo 6

Agora, queremos $ f^{(3)}(9) $. Precisamos substituir $ t = 9 $:
f^(3)(9)
Sabemos que:
  • $ g’(3) = 6 $
  • $ g’’(3) = 1 $
  • $ g’’’(3) = 2 $
Substituindo esses valores:
t = 9
Simplificando as frações:
f^(3)(9) = 3(g''(3) - g'(3))8 cdot 9 + g'''(3)8 cdot 3
Convertendo para denominador comum:
g'(3) = 6

Resposta

Então, a terceira derivada de $ f $ em 9 é:
f

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