Resolva conforme o que se pede nos itens abaixo:
Calcule
, se
e
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a terceira derivada de $ f $ no ponto 9, ou seja, $ f^{(3)}(9) $. Para isso, a gente tem a relação $ f(-t) = x g(\sqrt{x}) $ e as derivadas de $ g $ em $ x = 3 $:
- $ g’(3) = 6 $
- $ g’’(3) = 1 $
- $ g^{(3)}(3) = 2 $
Vamos usar conceitos de derivadas e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre $ f $ e $ g $. A equação nos dá $ f(-t) = x g(\sqrt{x}) $. Precisamos expressar $ f(t) $ em termos de $ g $. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Seja $ t = -x $, então $ x = -t $. Substituindo na equação:
Isso significa que:
Então, $ f(t) = t g(\sqrt{t}) $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a terceira derivada de $ f(t) $. Vamos calcular as derivadas passo a passo usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Primeira derivada de $ f(t) $:
Agora, aplicando a regra da cadeia na segunda parte:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada $ f’’(t) $:
Derivando cada termo separadamente:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Então, somando os dois termos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora calcular a terceira derivada $ f^{(3)}(t) $:
Derivando cada termo:
Primeiro termo:
Simplificando:
Segundo termo:
Então, juntando tudo:
Passo 6
Agora, queremos $ f^{(3)}(9) $. Precisamos substituir $ t = 9 $:
Sabemos que:
- $ g’(3) = 6 $
- $ g’’(3) = 1 $
- $ g’’’(3) = 2 $
Substituindo esses valores:
Simplificando as frações:
Convertendo para denominador comum:
Resposta
Então, a terceira derivada de $ f $ em 9 é: