Atenção: Justifique cada resposta!
Calcule a integral dupla
integral duplaD(x-y) d x d y
onde D é a região delimitada pelas curvas y=x^2 e y=x+2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integral duplaD(x - y) , dx , dy. A região D é delimitada pelas curvas y = x^2 e y = x + 2. Vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos ajuda a calcular áreas e volumes sobre regiões no plano. Para isso, precisamos entender bem os limites de integração, ou seja, até onde vamos integrar em x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para entender melhor a região D. A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima, e y = x + 2 é uma reta. Vamos encontrar os pontos onde essas duas se encontram para saber os limites de x.

Passo 3

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x^2 = x + 2
x^2 - x - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, x = 2 e x = -1. Portanto, a região D está entre x = -1 e x = 2.

Passo 4

Agora, para cada valor de x entre -1 e 2, o valor de y varia entre a parábola y = x^2 e a reta y = x + 2. Isso significa que os limites internos para y são de y = x^2 até y = x + 2.

Passo 5

Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
integralx=-1^2 integraly=x^2^x+2 (x - y) , dy , dx
Vamos calcular primeiro a integral interna em relação a y.

Passo 6

Calculando a integral interna:
integraly=x^2^x+2 (x - y) , dy = integraly=x^2^x+2 x , dy - integraly=x^2^x+2 y , dy
= x(y) |x^2^x+2 - 12y^2 |x^2^x+2
Substituindo os limites:
= x(x + 2 - x^2) - 12[(x + 2)^2 - (x^2)^2]
= x(x + 2 - x^2) - 12[(x^2 + 4x + 4) - x^4]
= x^2 + 2x - x^3 - 12x^2 - 2x - 2 + 12x^4
Simplificando:
= 12x^4 - x^3 + 12x^2 - 2

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de -1 a 2:
integral-1^2 ( 12x^4 - x^3 + 12x^2 - 2 ) dx
Integrando termo a termo:
= 12 cdot x^55 - x^44 + 12 cdot x^33 - 2x |-1^2
= x^510 - x^44 + x^36 - 2x |-1^2

Passo 8

Substituindo x = 2:
3210 - 164 + 86 - 4 = 3.2 - 4 + 1.333 - 4 = -3.466
Substituindo x = -1:
-110 - 14 + -16 - (-2) = -0.1 - 0.25 - 0.166 + 2 = 1.483
Calculando a diferença:
-3.466 - 1.483 = -4.95

Resposta

A integral dupla integral duplaD(x - y) , dx , dy é igual a -4.95.

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