Atenção: Justifique cada resposta!
Calcule a integral dupla
onde D é a região delimitada pelas curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla . A região é delimitada pelas curvas e . Vamos usar cálculo de integrais duplas, que nos ajuda a calcular áreas e volumes sobre regiões no plano. Para isso, precisamos entender bem os limites de integração, ou seja, até onde vamos integrar em e .
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para entender melhor a região . A curva é uma parábola que abre para cima, e é uma reta. Vamos encontrar os pontos onde essas duas se encontram para saber os limites de .
Passo 3
Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, e . Portanto, a região está entre e .
Passo 4
Agora, para cada valor de entre e , o valor de varia entre a parábola e a reta . Isso significa que os limites internos para são de até .
Passo 5
Com os limites definidos, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Vamos calcular primeiro a integral interna em relação a .
Passo 6
Calculando a integral interna:
Substituindo os limites:
= x(x + 2 - x^2) - 12[(x + 2)^2 - (x^2)^2]
= x(x + 2 - x^2) - 12[(x^2 + 4x + 4) - x^4]
= x^2 + 2x - x^3 - 12x^2 - 2x - 2 + 12x^4
Simplificando:
= 12x^4 - x^3 + 12x^2 - 2
Passo 7
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de -1 a 2: