Determine os máximos e mínimos locais e absolutos, caso existam, para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir os máximos e mínimos locais e absolutos da função $ f(x) = \frac{3}{3}x^{4} - 81x $ no intervalo $ x \in (-2, 4] $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para identificar os pontos críticos onde esses extremos podem ocorrer.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a função para facilitar os cálculos. Observe que $ \frac{3}{3} = 1 $, então a função fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os máximos e mínimos locais, precisamos achar a primeira derivada da função, pois os pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a serem extremos.
A derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Em seguida, encontramos os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Então, temos um ponto crítico em aproximadamente $ x = 3.03 $.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico está dentro do intervalo dado, que é $ x \in (-2, 4] $. Como $ 3.03 $ está entre
e
, ele é válido para análise.
Passo 6
Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada da função. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função nesse ponto.
A segunda derivada de $ f(x) $ é:
Passo 7
Avaliar a segunda derivada no ponto crítico $ x \approx 3.03 $:
Como $ f’’(3.03) > 0 $, isso indica que a função é côncava para cima nesse ponto, então temos um mínimo local em $ x \approx 3.03 $.
Passo 8
Além dos pontos críticos internos, precisamos verificar os extremos do intervalo para determinar os mínimos e máximos absolutos.
Os limites do intervalo são $ x = -2 $ e $ x = 4 $.
Vamos calcular $ f(-2) $ e $ f(4) $:
Passo 9
Também calculamos o valor da função no ponto crítico $ x \approx 3.03 $:
Resposta
Resumindo:
- Mínimo local em $ x \approx 3.03 $ com $ f(3.03) \approx -160.87 $.
- Mínimo absoluto também ocorre em $ x \approx 3.03 $ já que é o menor valor no intervalo.
- Máximo absoluto ocorre em $ x = -2 $ com $ f(-2) = 178 $.
Portanto, a função $ f(x) = x^{4} - 81x $ no intervalo $ (-2, 4] $ tem um mínimo absoluto em aproximadamente $ x = 3.03 $ e um máximo absoluto em $ x = -2 $.