Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
integral2^infty x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar se a integral imprópria integral2^infty x^2 , dx converge ou não. Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, a gente vai usar conceitos de limites e integração de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é essa integral. Ela vai de 2 até o infinito, o que significa que estamos lidando com uma integral imprópria porque o limite de integração é infinito. Nosso objetivo é verificar se essa área sob a curva x^2 é finita ou tende ao infinito.

Passo 3

Para resolver, vamos calcular o limite da integral definida conforme o limite superior b tende ao infinito:
integral2^infty x^2 , dx = limb to infty integral2^b x^2 , dx

Passo 4

Agora, calculamos a antiderivada de x^2. A antiderivada de x^n é x^n+1n+1, então:
integral x^2 , dx = x^33 + C

Passo 5

Aplicamos os limites de integração de 2 a b:
integral2^b x^2 , dx = x^33 |2^b = b^33 - 2^33 = b^33 - 83

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( b^33 - 83 ) = limb to infty b^33 - 83 = infty - 83 = infty

Resposta

A integral integral2^infty x^2 , dx é divergente, ou seja, não converge.

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