Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a integral imprópria converge ou não. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função dentro da integral quando o limite de integração vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria com limite no infinito, como essa, pode ser avaliada transformando-a em um limite finito. Ou seja, vamos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral definida . Para isso, vamos usar uma substituição simples:
Seja , então .
Assim, a integral fica:
Passo 4
Com a antiderivada encontrada, vamos avaliar a integral definida de 3 até :
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( (ln b)^22 - (ln 3)^22 ) = limb to infty (ln b)^22 - (ln 3)^22
Sabemos que ln b cresce sem limites quando b vai para o infinito, então (ln b)^2 também tende ao infinito. Portanto:
limb to infty (ln b)^22 = infty
Resposta
A integral imprópria integral3^infty ln xx , dxdiverge, ou seja, não converge para um valor finito.