Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
integral3^infty ln xx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a integral imprópria integral3^infty ln xx , dx converge ou não. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função dentro da integral quando o limite de integração vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria com limite no infinito, como essa, pode ser avaliada transformando-a em um limite finito. Ou seja, vamos reescrever a integral como:
integral3^infty ln xx , dx = limb to infty integral3^b ln xx , dx

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral definida integral ln xx , dx. Para isso, vamos usar uma substituição simples:
Seja u = ln x, então du = 1x dx.
Assim, a integral fica:
integral u , du = u^22 + C = (ln x)^22 + C

Passo 4

Com a antiderivada encontrada, vamos avaliar a integral definida de 3 até b:
integral3^b ln xx , dx = (ln x)^22 |3^b = (ln b)^22 - (ln 3)^22

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty ( (ln b)^22 - (ln 3)^22 ) = limb to infty (ln b)^22 - (ln 3)^22
Sabemos que ln b cresce sem limites quando b vai para o infinito, então (ln b)^2 também tende ao infinito. Portanto:
limb to infty (ln b)^22 = infty

Resposta

A integral imprópria integral3^infty ln xx , dx diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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