Atenção: justifique todas as passagens da sua solução. A organizaçāo e a clareza das respostas também serão avaliadas.
Considere a função f: R^2 R^2 dada por
f(x, y)=ll x^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
f: R^2 R
é diferenciável no ponto f(x, y)=ll x^3x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0) . Para isso, vamos precisar entender o conceito de diferenciabilidade em funções de várias variáveis e calcular os limites necessários para justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função $ f $ é diferenciável em f se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais em (0,0) existem e que a aproximação linear da função é uma boa aproximação perto desse ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f $ em f . A derivada parcial em relação a $ x $ é dada por:
(0,0)
Para $ (h,0) \neq (0,0) $, temos:
x
Portanto:
fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Para $ (0,k) \neq (0,0) $:
fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k
Assim:
(0,k) neq (0,0)

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, a aproximação linear da função $ f $ em f seria:
(0,0)
Para verificar a diferenciabilidade, analisamos o limite:
L(x,y) = f(0,0) + fx(0,0) x + fy(0,0) y = 0 + 1 cdot x + 0 cdot y = x
Substituindo $ f(x,y) $:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) - L(x,y)raizx^2 + y^2

Passo 6

Para avaliar este limite, usamos coordenadas polares: $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Substituindo:
x = r cos theta
Observamos que o resultado depende do ângulo $ \theta $, o que significa que o limite varia conforme a direção que se aproxima de y = r sin theta . Portanto, o limite não existe de forma única.

Resposta

A função $ f $ não é diferenciável em f , pois o limite necessário para a diferenciabilidade não existe.

Exercícios relacionados