Atenção: justifique todas as passagens da sua solução. A organizaçāo e a clareza das respostas também serão avaliadas.
Considere a função
dada por
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Considere a função
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a função $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por
é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de diferenciabilidade em funções de várias variáveis e calcular os limites necessários para justificar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função $ f $ é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso implica que as derivadas parciais em
existem e que a aproximação linear da função é uma boa aproximação perto desse ponto.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ f $ em
. A derivada parcial em relação a $ x $ é dada por:
Para $ (h,0) \neq (0,0) $, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
Para $ (0,k) \neq (0,0) $:
Assim:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, a aproximação linear da função $ f $ em
seria:
Para verificar a diferenciabilidade, analisamos o limite:
Substituindo $ f(x,y) $:
Passo 6
Para avaliar este limite, usamos coordenadas polares: $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Substituindo:
Observamos que o resultado depende do ângulo $ \theta $, o que significa que o limite varia conforme a direção que se aproxima de
. Portanto, o limite não existe de forma única.
Resposta
A função $ f $ não é diferenciável em
, pois o limite necessário para a diferenciabilidade não existe.