Suponha que a temperatura num ponto
do espaço esteja sendo medida por
e que um pernilongo que esteja localizado no ponto (
).
O pernilongo decidiu voar em linha reta na direção de uma possivel vítima de sua picada que está localizada no ponto
. Qual a taxa de variação de temperatura que ele erá sentir no momento de sua partida?
O pernilongo decidiu voar em linha reta na direção de uma possivel vítima de sua picada que está localizada no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função de temperatura no espaço T(x,y,z)=x e^{-xyz}, um pernilongo parte do ponto (1,1,0) e voa em linha reta até (3,3,1). O que precisamos é calcular a taxa de variação de T na direção desse voo, ou seja, a derivada direcional de T no ponto inicial.
Passo 2
Para achar a derivada direcional, primeiro calculamos o gradiente de T. Lembrando que ∇T reúne as derivadas parciais: ∂T/∂x, ∂T/∂y e ∂T/∂z. As derivadas são: ∂T/∂x=e{-xyz}+x(-yz)e{-xyz}=e^{-xyz}(1-xyz),
∂T/∂y=-x^2z e^{-xyz},
∂T/∂z=-x^2y e^{-xyz}.
∂T/∂y=-x^2z e^{-xyz},
∂T/∂z=-x^2y e^{-xyz}.
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,1,0). Como xyz=0 e e^0=1, temos ∇T(1,1,0)=(1·(1-0), -1^2·0, -1^2·1)=(1,0,-1).
Passo 4
Em seguida determinamos o vetor direção do voo: v=(3-1,3-1,1-0)=(2,2,1). Para obter a derivada por unidade de deslocamento, normalizamos v: u=v/||v||=(2,2,1)/√(22+22+1^2)=(2,2,1)/3.
Passo 5
Por fim, a derivada direcional de T ao longo de u é dada por ∇T(1,1,0)·u. Fazendo o produto escalar, (1,0,-1)·(2/3,2/3,1/3)=(2-1)/3=1/3.