Em cada item, verifique que a função z é solução da equação diferencial parcial.
(a) partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=0, z=x^2-y^2.

Passo 1

Nessa questão, a gente precisa verificar se a função resolve a equação diferencial parcial . Vamos usar derivadas parciais para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de partial zpartial x = partialpartial x (x^2 - y^2) = 2x em relação a partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x (2x) = 2 . Para isso, começamos encontrando a primeira derivada:
Agora, derivamos de novo em relação a :

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada de partial zpartial y = partialpartial y (x^2 - y^2) = -2y em relação a partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y (-2y) = -2 . Primeiro, a primeira derivada:
Depois, a segunda derivada:

Passo 4

Agora, somamos as duas segundas derivadas que encontramos:
partial^2 zpartial x^2 + partial^2 zpartial y^2 = 2 + (-2) = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas é zero, a fun��ão realmente é solução da equação diferencial parcial dada.

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