Calcule a soma
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma infinita
. Esse tipo de problema está relacionado a séries infinitas e frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa expressão como uma soma de frações mais simples.
Passo 3
Para decompor, assumimos que existe uma combinação de constantes
,
,
e
tal que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de
,
,
e
. Para facilitar, podemos escolher valores específicos de
que zerem alguns termos.
Passo 5
Vamos escolher:
-
: -
: -
: -
:
Passo 6
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, vamos somar a série:
Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam.
Passo 8
Ao expandir os primeiros termos, percebemos que a maioria se anula, restando apenas termos iniciais e finais. Como a série é infinita, apenas os termos iniciais permanecem.
Passo 9
Calculando os limites, encontramos que a soma da série converge para: