Calcule a soma sumn=1^+infty 1n(n+1)(n+2)(n+3).
1n(n+1)(n+2)(n+3)=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma infinita . Esse tipo de problema está relacionado a séries infinitas e frações parciais. Vamos precisar decompor a fração para facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever essa expressão como uma soma de frações mais simples.

Passo 3

Para decompor, assumimos que existe uma combinação de constantes 1n(n+1)(n+2)(n+3) = An + Bn+1 + Cn+2 + Dn+3 , , e tal que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(n+1)(n+2)(n+3) + Bn(n+2)(n+3) + Cn(n+1)(n+3) + Dn(n+1)(n+2) para eliminar os denominadores, temos:
Agora, precisamos encontrar os valores de , , e . Para facilitar, podemos escolher valores específicos de que zerem alguns termos.

Passo 5

Vamos escolher:
  • 1 = A(1)(2)(3) Rightarrow 1 = 6A Rightarrow A = 16 :
    1 = B(-1)(1)(2) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12
  • 1 = C(-2)(-1)(1) Rightarrow 1 = 2C Rightarrow C = 12 :
    1 = D(-3)(-2)(-1) Rightarrow 1 = -6D Rightarrow D = -16
  • :
  • :

Passo 6

Então, a decomposição fica:
1n(n+1)(n+2)(n+3) = 16n - 12(n+1) + 12(n+2) - 16(n+3)

Passo 7

Agora, vamos somar a série:
sumn=1^+infty ( 16n - 12(n+1) + 12(n+2) - 16(n+3) )
Observamos que a série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam.

Passo 8

Ao expandir os primeiros termos, percebemos que a maioria se anula, restando apenas termos iniciais e finais. Como a série é infinita, apenas os termos iniciais permanecem.

Passo 9

Calculando os limites, encontramos que a soma da série converge para:

Resposta

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