Atenção: justifique todas as passagens da sua solução. A organização e a clareza das respostas também serão avaliadas.
Considere a função f: R^2 R^2 dada por
f(x, y)=ll y^4x^2, y^2 & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
A função f é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR^2 por partes: para (x,y)neq(0,0) temos f(x,y)=(y^4/x^2,;y^2) e f(0,0)=(0,0). A pergunta é se f é diferenciável em (0,0). Para responder isso, vamos precisar do conceito de diferenciabilidade (que exige continuidade) e da ideia de limites em R^2.

Passo 2

Para f ser diferenciável em (0,0), ela precisa ser contínua lá. Então primeiro vamos investigar a continuidade analisando o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0). Como f tem duas componentes, estudamos separadamente: f2(x,y)=y^2 tende a zero tranquilamente, mas a primeira componente f1(x,y)=y^4/x^2 pode dar ruim.

Passo 3

Escolhemos dois caminhos para ver se f1(x,y) tem limite único. Primeiro, na reta y=mx com m fixo:
f1(x,mx)=(mx)^4x^2=m^4x^2to0quando xto0
Já no caminho parabólico y^2=x (ou seja, y=raizx para x>=0):
f1(x,raizx)=(raizx)^4x^2=x^2x^2=1quando xto0^+,

Passo 4

Como num caminho o valor tende a 0 e em outro tende a 1, o limite de f1(x,y) ao aproximar de (0,0) não existe. Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 5

Como diferenciabilidade implica continuidade, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

A função não é diferenciável em (0,0), pois a primeira componente não é contínua nesse ponto.

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