Atenção: justifique todas as passagens da sua solução. A organização e a clareza das respostas também serão avaliadas.
Considere a função
dada por
A função
é diferenciável em
? Justifique sua resposta.
Considere a função
Passo 1
O enunciado define a função
por partes: para
temos
e
. A pergunta é se
é diferenciável em
. Para responder isso, vamos precisar do conceito de diferenciabilidade (que exige continuidade) e da ideia de limites em
.
Passo 2
Para
ser diferenciável em
, ela precisa ser contínua lá. Então primeiro vamos investigar a continuidade analisando o limite de
quando
. Como
tem duas componentes, estudamos separadamente:
tende a zero tranquilamente, mas a primeira componente
pode dar ruim.
Passo 3
Escolhemos dois caminhos para ver se
tem limite único. Primeiro, na reta
com
fixo:
Já no caminho parabólico
Passo 4
Como num caminho o valor tende a
e em outro tende a
, o limite de
ao aproximar de
não existe. Logo
não é contínua em
.
Passo 5
Como diferenciabilidade implica continuidade, concluímos que
não é diferenciável em
.
Resposta
A função não é diferenciável em
, pois a primeira componente não é contínua nesse ponto.