Suponha que a temperatura num ponto
do espaço esteja sendo medida por
e que um pernilongo que esteja localizado no ponto
.
Qual a direção e sentido que o pernilongo deve voar para a temperatura sentida por ele esquente o máximo possível? Qual a taxa de variação da temperatura nessa direção e setido?
Qual a direção e sentido que o pernilongo deve voar para a temperatura sentida por ele esquente o máximo possível? Qual a taxa de variação da temperatura nessa direção e setido?
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a direção e o sentido em que a temperatura sobe mais rápido no ponto (1,1,0), além da taxa dessa variação máxima. Isso é um problema clássico de gradiente e derivada direcional, então vamos precisar calcular ∇T e o seu módulo.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de T(x,y,z)=x y e^{-y z} em relação a x, y e z. Usando produto e cadeia:
Passo 3
Agora a gente avalia essas derivadas no ponto (1,1,0). Note que e^{-1·0}=1, então:
Passo 4
Com isso o gradiente em (1,1,0) é ∇T(1,1,0)=(1,1,-1). Essa é a direção (e sentido) de subida mais rápida, mas pra especificar um vetor direção a gente normaliza criando um vetor unitário.
O vetor unitário nessa direção é dado por dividir o gradiente pelo seu módulo. Primeiro o módulo:
O vetor unitário nessa direção é dado por dividir o gradiente pelo seu módulo. Primeiro o módulo:
Passo 5
Logo o vetor unitário é
Passo 6
A taxa de variação máxima da temperatura nesse ponto é justamente o valor do módulo do gradiente, que é √3.
Resposta
O mosquito deve voar na direção do vetor unitário
, e a taxa de variação máxima da temperatura nessa direção é
.