Suponha que a temperatura num ponto (x, y, z) do espaço esteja sendo medida por T(x, y, z)=x y e^-y z e que um pernilongo que esteja localizado no ponto (1,1,0).
Qual a direção e sentido que o pernilongo deve voar para a temperatura sentida por ele esquente o máximo possível? Qual a taxa de variação da temperatura nessa direção e setido?

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar a direção e o sentido em que a temperatura sobe mais rápido no ponto (1,1,0), além da taxa dessa variação máxima. Isso é um problema clássico de gradiente e derivada direcional, então vamos precisar calcular ∇T e o seu módulo.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de T(x,y,z)=x y e^{-y z} em relação a x, y e z. Usando produto e cadeia:
partial Tpartial x=y e^-y z, partial Tpartial y=x e^-y z+x y(-z)e^-y z=x e^-y z-x y z e^-y z, partial Tpartial z=x y(-y)e^-y z=-x y^2 e^-y z

Passo 3

Agora a gente avalia essas derivadas no ponto (1,1,0). Note que e^{-1·0}=1, então:
partial Tpartial x(1,1,0)=1, partial Tpartial y(1,1,0)=1-1·1·0=1, partial Tpartial z(1,1,0)=-1·1^2=-1

Passo 4

Com isso o gradiente em (1,1,0) é ∇T(1,1,0)=(1,1,-1). Essa é a direção (e sentido) de subida mais rápida, mas pra especificar um vetor direção a gente normaliza criando um vetor unitário.
O vetor unitário nessa direção é dado por dividir o gradiente pelo seu módulo. Primeiro o módulo:
|nabla T(1,1,0)|=raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3

Passo 5

Logo o vetor unitário é
u=1raiz3(1,1,-1)

Passo 6

A taxa de variação máxima da temperatura nesse ponto é justamente o valor do módulo do gradiente, que é √3.

Resposta

O mosquito deve voar na direção do vetor unitário 1raiz3(1,1,-1), e a taxa de variação máxima da temperatura nessa direção é raiz3.

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