Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)= -x & se x<0 e^x-1 & se x >= 0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = -x & se x < 0 e^x - 1 & se x >= 0
Precisamos encontrar três coisas:
  1. Domínio da função: todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
  2. Imagem da função: todos os valores que $ f(x) $ pode assumir.
  3. Esboçar o gráfico da função: desenhar como a função se comporta no plano cartesiano.
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos:
  • Domínio: conjunto de todos os valores de $ x $ que não causam problemas na função, como divisão por zero ou logaritmos de números negativos.
  • Imagem: conjunto de todos os possíveis valores de $ f(x) $ resultantes dos valores no domínio.
  • Funções definidas por partes: funções que têm expressões diferentes para diferentes intervalos de $ x $.

Passo 2

Encontrando o domínio da função
Vamos analisar cada parte da função separadamente.
  1. Para $ x < 0 $, a função é $ f(x) = -x $. Não há restrições aqui, pois podemos multiplicar qualquer número real por -1.
  2. Para $ x \geq 0 $, a função é $ f(x) = e^{x} - 1 $. A função exponencial $ e^{x} $ está definida para todo $ x $, então também não há restrições.
Portanto, combinando as duas partes, o domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais.
x < 0 í

Passo 3

Encontrando a imagem da função
Vamos analisar cada parte da função para descobrir quais valores $ f(x) $ pode assumir.
  1. Para $ x < 0 $, $ f(x) = -x $:
    • Como $ x $ é negativo, $ -x $ será positivo.
    • À medida que $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, $ f(x) $ se aproxima de 0.
    • À medida que $ x $ tende a menos infinito, $ f(x) $ tende a mais infinito.
    • Portanto, $ f(x) $ nessa parte varia de $ 0 $ a $ +\infty $ (não incluindo 0).
  2. Para $ x \geq 0 $, $ f(x) = e^{x} - 1 $:
    • Quando $ x = 0 $, $ f(0) = e^{0} - 1 = 1 - 1 = 0 $.
    • À medida que $ x $ aumenta, $ e^{x} $ cresce exponencialmente, então $ f(x) $ também cresce.
    • Portanto, $ f(x) $ nessa parte varia de $ 0 $ a $ +\infty $ (incluindo 0).
Combinando as duas partes, a imagem da função $ f(x) $ é todos os números maiores ou iguais a 0.
f(x)

Passo 4

Esboçando o gráfico da função
Vamos desenhar o gráfico em duas partes:
  1. Para $ x < 0 $:
    • A função é $ f(x) = -x $, que é uma linha reta com inclinação positiva.
    • Passa pela origem (mas apenas para $ x < 0 $, portanto, não inclui o ponto $ (0,0) $ aqui).
    • À medida que $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, $ f(x) $ se aproxima de 0.
  2. Para $ x \geq 0 $:
    • A função é $ f(x) = e^{x} - 1 $.
    • Quando $ x = 0 $, $ f(0) = 0 $, então o gráfico começa no ponto $ (0,0) $.
    • À medida que $ x $ aumenta, $ e^{x} $ cresce rapidamente, então o gráfico sobe exponencialmente.
Conexão das partes:
  • Ambas as partes se encontram no ponto $ (0,0) $.
  • O gráfico geral será uma linha reta para $ x < 0 $ e uma curva exponencial para $ x \geq 0 $, ambas começando no mesmo ponto.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais R, a imagem é [0, +infty), e o gráfico consiste de uma linha reta com inclinação positiva para x < 0 que se encontra com uma curva exponencial crescente a partir do ponto $ (0,0) $ para (0,0) .

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