Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Precisamos encontrar três coisas:
- Domínio da função: todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
- Imagem da função: todos os valores que $ f(x) $ pode assumir.
- Esboçar o gráfico da função: desenhar como a função se comporta no plano cartesiano.
Para resolver isso, vamos lembrar alguns conceitos básicos:
- Domínio: conjunto de todos os valores de $ x $ que não causam problemas na função, como divisão por zero ou logaritmos de números negativos.
- Imagem: conjunto de todos os possíveis valores de $ f(x) $ resultantes dos valores no domínio.
- Funções definidas por partes: funções que têm expressões diferentes para diferentes intervalos de $ x $.
Passo 2
Encontrando o domínio da função
Vamos analisar cada parte da função separadamente.
- Para $ x < 0 $, a função é $ f(x) = -x $. Não há restrições aqui, pois podemos multiplicar qualquer número real por -1.
- Para $ x \geq 0 $, a função é $ f(x) = e^{x} - 1 $. A função exponencial $ e^{x} $ está definida para todo $ x $, então também não há restrições.
Portanto, combinando as duas partes, o domínio da função $ f(x) $ é todos os números reais.
Passo 3
Encontrando a imagem da função
Vamos analisar cada parte da função para descobrir quais valores $ f(x) $ pode assumir.
-
Para $ x < 0 $, $ f(x) = -x $:
- Como $ x $ é negativo, $ -x $ será positivo.
- À medida que $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, $ f(x) $ se aproxima de 0.
- À medida que $ x $ tende a menos infinito, $ f(x) $ tende a mais infinito.
- Portanto, $ f(x) $ nessa parte varia de $ 0 $ a $ +\infty $ (não incluindo 0).
-
Para $ x \geq 0 $, $ f(x) = e^{x} - 1 $:
- Quando $ x = 0 $, $ f(0) = e^{0} - 1 = 1 - 1 = 0 $.
- À medida que $ x $ aumenta, $ e^{x} $ cresce exponencialmente, então $ f(x) $ também cresce.
- Portanto, $ f(x) $ nessa parte varia de $ 0 $ a $ +\infty $ (incluindo 0).
Combinando as duas partes, a imagem da função $ f(x) $ é todos os números maiores ou iguais a 0.
Passo 4
Esboçando o gráfico da função
Vamos desenhar o gráfico em duas partes:
-
Para $ x < 0 $:
- A função é $ f(x) = -x $, que é uma linha reta com inclinação positiva.
- Passa pela origem (mas apenas para $ x < 0 $, portanto, não inclui o ponto $ (0,0) $ aqui).
- À medida que $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda, $ f(x) $ se aproxima de 0.
-
Para $ x \geq 0 $:
- A função é $ f(x) = e^{x} - 1 $.
- Quando $ x = 0 $, $ f(0) = 0 $, então o gráfico começa no ponto $ (0,0) $.
- À medida que $ x $ aumenta, $ e^{x} $ cresce rapidamente, então o gráfico sobe exponencialmente.
Conexão das partes:
- Ambas as partes se encontram no ponto $ (0,0) $.
- O gráfico geral será uma linha reta para $ x < 0 $ e uma curva exponencial para $ x \geq 0 $, ambas começando no mesmo ponto.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais
, a imagem é
, e o gráfico consiste de uma linha reta com inclinação positiva para
que se encontra com uma curva exponencial crescente a partir do ponto $ (0,0) $ para
.