Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
para o espaço, onde o ponto
é a origem e
é uma base ortonormal positiva.
Determine a medida angular entre a reta
e o plano
.
para o espaço, onde o ponto
Determine a medida angular entre a reta
Passo 1
O enunciado dá explicitamente duas informações e pede uma coisa. Vou listar isso claramente.
- Dado: a reta
está escrita na forma paramétrica vetorial
- Dado: o plano
tem equação cartesiana
- Pedido: determinar a medida angular entre a reta
e o plano .
Ou seja, encontrar o ânguloentre a reta e o plano, com justificativa.
Passo 2
Identificar os vetores importantes que aparecem nos dados (vou mostrar de onde cada um vem).
- Da forma paramétrica da reta, a componente que multiplica
é o vetor direção da reta; portanto o vetor direção da reta é
- Da equação do plano escrita como
o vetor normal ao plano é . A equação dada é , logo o vetor normal do plano é
(Estas escolhas vêm diretamente das expressões fornecidas no enunciado: peguei a direção da reta na forma paramétrica e peguei o normal do plano na equação cartesiana.)
Passo 3
Explicar o conceito de ângulo entre reta e plano e obter a fórmula que vou usar — com justificativa.
- Seja
o ângulo entre a reta (direção ) e o plano (normal ). Visualmente, se for o ângulo entre o vetor direção e o vetor normal , então e são complementares: . Isso porque o vetor normal é perpendicular ao plano. - A fórmula clássica para o cosseno do ângulo
entre dois vetores e é
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor. Uso valor absoluto para obter o ângulo agudo (medida entre
e
).
- Como
, tem-se . Portanto a fórmula prática que dá o seno do ângulo entre a reta e o plano é
Essa é a fórmula que vou aplicar: ela segue diretamente da relação entre ângulos complementares e da fórmula do produto escalar.
Passo 4
Calcular o produto escalar
.
- Componentes:
e . - Produto escalar:
- Valor absoluto:
Passo 5
Calcular as normas
e
.
- Norma de
:
- Norma de
:
Passo 6
Aplicar a fórmula e encontrar o ângulo.
- Usando
substituo os valores encontrados:
- O ângulo
cujo seno vale é
isto é,
. (Escolhi a solução aguda porque o ângulo entre reta e plano é tomado entre
e
.)
Passo 7
Resumo justificando a resposta final em uma frase: a medida angular entre a reta e o plano é
porque a fórmula
aplicada a
e
dá
, portanto
.