Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Determine a medida angular entre a reta r: X=(1,0,0)+\lambda(-1, \sqrt{2}, 1) e o plano
\pi: x-z-6=0.

Passo 1

O enunciado dá explicitamente duas informações e pede uma coisa. Vou listar isso claramente.
  • Dado: a reta r está escrita na forma paramétrica vetorial
X = (1,0,0) + \lambda(-1,\sqrt{2},1),\quad \lambda\in\mathbb{R}.
  • Dado: o plano \pi tem equação cartesiana
x - z - 6 = 0.
  • Pedido: determinar a medida angular entre a reta r e o plano \pi.
    Ou seja, encontrar o ângulo \alpha entre a reta e o plano, com justificativa.

Passo 2

Identificar os vetores importantes que aparecem nos dados (vou mostrar de onde cada um vem).
  • Da forma paramétrica da reta, a componente que multiplica \lambda é o vetor direção da reta; portanto o vetor direção da reta é
\mathbf{u}=(-1,\sqrt{2},1).
  • Da equação do plano escrita como ax+by+cz+d=0 o vetor normal ao plano é (a,b,c). A equação dada é x- z -6=0, logo o vetor normal do plano é
\mathbf{n}=(1,0,-1).
(Estas escolhas vêm diretamente das expressões fornecidas no enunciado: peguei a direção da reta na forma paramétrica e peguei o normal do plano na equação cartesiana.)

Passo 3

Explicar o conceito de ângulo entre reta e plano e obter a fórmula que vou usar — com justificativa.
  • Seja \alpha o ângulo entre a reta (direção \mathbf{u}) e o plano (normal \mathbf{n}). Visualmente, se \beta for o ângulo entre o vetor direção \mathbf{u} e o vetor normal \mathbf{n}, então \alpha e \beta são complementares: \alpha + \beta = 90^\circ. Isso porque o vetor normal é perpendicular ao plano.
  • A fórmula clássica para o cosseno do ângulo \beta entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{n} é
\cos\beta=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{n}\|},
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor. Uso valor absoluto para obter o ângulo agudo (medida entre 0 e 90^\circ).
  • Como \alpha=90^\circ-\beta, tem-se \sin\alpha=\cos\beta. Portanto a fórmula prática que dá o seno do ângulo entre a reta e o plano é
\sin\alpha=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{n}\|}.
Essa é a fórmula que vou aplicar: ela segue diretamente da relação entre ângulos complementares e da fórmula do produto escalar.

Passo 4

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}.
  • Componentes: \mathbf{u}=(-1,\sqrt{2},1) e \mathbf{n}=(1,0,-1).
  • Produto escalar:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=(-1)\cdot 1 + (\sqrt{2})\cdot 0 + 1\cdot(-1) = -1+0-1 = -2.
  • Valor absoluto:
|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}| = 2.

Passo 5

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{n}\|.
  • Norma de \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{1+2+1}=\sqrt{4}=2.
  • Norma de \mathbf{n}:
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula e encontrar o ângulo.
  • Usando
\sin\alpha=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{n}\|},
substituo os valores encontrados:
\sin\alpha=\frac{2}{2\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • O ângulo \alpha cujo seno vale \dfrac{\sqrt{2}}{2} é
\alpha=\frac{\pi}{4},
isto é, \alpha=45^\circ. (Escolhi a solução aguda porque o ângulo entre reta e plano é tomado entre 0 e 90^\circ.)

Passo 7

Resumo justificando a resposta final em uma frase: a medida angular entre a reta e o plano é \dfrac{\pi}{4} porque a fórmula \sin\alpha=\dfrac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{n}\|} aplicada a \mathbf{u}=(-1,\sqrt{2},1) e \mathbf{n}=(1,0,-1) \sin\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, portanto \alpha=\dfrac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ)

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