Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano
\sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Determine a distância entre a reta r: X=(1,2,2)+\lambda(8,-2,-6) e a reta
s:\left\{\begin{array}{cl}x+y+z & =1 \\\\ 2 x-y+3 z & =4\end{array}\right.
(que é dada pela interseção de dois planos).

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e pede a distância entre elas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • A reta r\) é dada no formato ponto + parâmetro: \[r:\; X = (1,2,2) + \lambda\,(8,-2,-6),\quad \lambda\in\mathbb{R}.
Dessa escrita extraio:
  • um ponto pertencente a r: A=(1,2,2);
  • um vetor diretor de r: \,v=(8,-2,-6).
  • A reta s é dada como interseção de dois planos:
\begin{cases} x+y+z = 1,\\[4pt] 2x-y+3z = 4. \end{cases}
Dessa forma preciso obter:
  • um vetor diretor de s\] (direção da interseção); - um ponto qualquer pertencente a \(s.
O que o problema pede: determinar a distância entre as retas r e s. Vou justificar cada passo que eu fizer para obter essa distância.]

Passo 2

Encontrar o vetor diretor de s. Justificativa e ideia: se uma reta é interseção de dois planos, seus vetores diretores são ortogonais aos vetores normais dos planos; portanto o vetor diretor da reta é o produto vetorial (cross product) dos dois normais.
  • Os normais dos planos são
n_1=(1,1,1)\quad\text{(do plano }x+y+z=1),
n_2=(2,-1,3)\quad\text{(do plano }2x-y+3z=4).
  • O vetor diretor u de s é dado por u = n_1\times n_2. Vou calcular componente a componente usando a definição determinantal do produto vetorial:
u = n_1\times n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix}.
Calculando:
u = \big(1\cdot3 - 1\cdot(-1),\; -(1\cdot3 - 1\cdot2),\; 1\cdot(-1) - 1\cdot2\big) = (3+1,\; -(3-2),\; -1-2) = (4,-1,-3).
Portanto um vetor diretor de s é u=(4,-1,-3). Esta construção está justificada porque u é ortogonal tanto a n_1 quanto a n_2, logo segue a interseção.

Passo 3

Verificar se as retas são paralelas (caso em que a fórmula da distância entre retas paralelas se aplica). Justificativa: duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro.
  • O vetor diretor de r é v=(8,-2,-6).
  • Observa-se que v = 2\cdot(4,-1,-3) = 2u.
Como v é múltiplo escalar de u, concluímos que as retas r e s são paralelas. Justificação final: direções proporcionais implicam paralelismo de retas no espaço.

Passo 4

Encontrar um ponto qualquer sobre [s). Justificativa: para calcular a distância entre retas paralelas basta um ponto de cada reta e o vetor diretor comum (ou proporcional). Já temos A em r; agora escolho um ponto B\in s resolvendo o sistema dos planos.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} x+y+z = 1,\\[4pt] 2x-y+3z = 4, \end{cases}
vou eliminar y\]. Da primeira equação \(y = 1 - x - z. Substituindo na segunda:
2x - (1 - x - z) + 3z = 4
2x -1 + x + z + 3z = 4
3x + 4z = 5 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5-4z}{3}.
Assim y = 1 - x - z = \dfrac{-2+z}{3}. Posso escolher um valor conveniente para z para obter coordenadas simples; escolho z=2. Substituindo:
x = \frac{5-4\cdot 2}{3} = \frac{5-8}{3} = -1,\qquad y = \frac{-2+2}{3}=0.
Logo um ponto em s é B = (-1,0,2). Justifico a escolha de z=2 dizendo que qualquer ponto obtido dessa parametrização pertence a s; escolhi este para facilitar os cálculos (inteiros).]

Passo 5

Fórmula da distância entre duas retas paralelas e justificativa geométrica. Seja A\in r e B\in s e d um vetor diretor comum (aqui podemos usar v de r). A distância entre retas paralelas é a menor distância entre pontos de uma e da outra; geometricamente é a distância entre B e a reta que passa por A com direção v, igual ao comprimento da componente de \overrightarrow{AB} perpendicular a v.
Uma maneira prática e bem conhecida de calcular essa distância é usar o produto vetorial:
\text{dist}(r,s) = \frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times v\big\|}{\|v\|},
porque \|\overrightarrow{AB}\times v\| = \|\overrightarrow{AB}\|\,\|v\|\sin\theta é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e v, e dividindo por \|v\| fica a altura desse paralelogramo, que é exatamente a distância entre as retas (comprovado pela definição de seno e área).

Passo 6

Calcular \overrightarrow{AB}, o produto vetorial e as normas, com todos os detalhes.
  • Primeiro \overrightarrow{AB} = A - B. Usando A=(1,2,2) e B=(-1,0,2):
\overrightarrow{AB} = (1-(-1),\;2-0,\;2-2) = (2,2,0).
  • Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times v com v=(8,-2,-6):
\overrightarrow{AB}\times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 2 & 0 \\\\ 8 & -2 & -6 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
\overrightarrow{AB}\times v = \big(2\cdot(-6) - 0\cdot(-2),\; -(2\cdot(-6)-0\cdot8),\; 2\cdot(-2) - 2\cdot8\big) = (-12,\; 12,\; -4-16) = (-12,\,12,\, -20).
  • Norma do produto vetorial:
\big\|\overrightarrow{AB}\times v\big\| = \sqrt{(-12)^2 + 12^2 + (-20)^2} = \sqrt{144 + 144 + 400} = \sqrt{688}.
Posso fatorar 688 = 16\cdot 43, então
\big\|\overrightarrow{AB}\times v\big\| = 4\sqrt{43}.
  • Norma de v:
\|v\| = \sqrt{8^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 4 + 36} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}.

Passo 7

Calcular a distância usando a fórmula e simplificar. Usando os valores calculados:
\text{dist}(r,s) = \frac{\big\|\overrightarrow{AB}\times v\big\|}{\|v\|} = \frac{4\sqrt{43}}{2\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{43}}{\sqrt{26}}.
Posso simplificar escrevendo como uma única raiz:
\frac{4\sqrt{43}}{2\sqrt{26}} = \frac{\sqrt{688}}{\sqrt{104}} = \sqrt{\frac{688}{104}}.
Reduzindo a fração \dfrac{688}{104} por 8 obtém-se \dfrac{86}{13}. Assim
\text{dist}(r,s) = \sqrt{\frac{86}{13}}.
Isso é a forma exata e simplificada da distância. (Se desejar aproximação numérica, \sqrt{86/13}\approx 2{,}573, mas a forma exata é \sqrt{\dfrac{86}{13}}.)

Resposta

\displaystyle \sqrt{\dfrac{86}{13}}

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