Atenção: Justifique todas as suas respostas. Considere que foi fixado um Sistema de coordenadas cartesiano \sum=(O, E)
para o espaço, onde o ponto O é a origem e E é uma base ortonormal positiva.
Determine a distância entre a reta r: X=(1,2,2)+\lambda(8,-2,-6) e a reta s:\left\{\begin{array}{cl}x+y+z & =1 \\\\ 2 x-y+3 z & =4\end{array}\right.
(que é dada pela interseção de dois planos).
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço e pede a distância entre elas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
A reta r\) é dada no formato ponto + parâmetro:
\[r:\; X = (1,2,2) + \lambda\,(8,-2,-6),\quad \lambda\in\mathbb{R}.
um vetor diretor de s\] (direção da interseção);
- um ponto qualquer pertencente a \(s.
O que o problema pede: determinar a distância entre as retas r e s. Vou justificar cada passo que eu fizer para obter essa distância.]
Passo 2
Encontrar o vetor diretor de s. Justificativa e ideia: se uma reta é interseção de dois planos, seus vetores diretores são ortogonais aos vetores normais dos planos; portanto o vetor diretor da reta é o produto vetorial (cross product) dos dois normais.
Os normais dos planos são
n_1=(1,1,1)\quad\text{(do plano }x+y+z=1),
n_2=(2,-1,3)\quad\text{(do plano }2x-y+3z=4).
O vetor diretor u de s é dado por u = n_1\times n_2. Vou calcular componente a componente usando a definição determinantal do produto vetorial:
Portanto um vetor diretor de s é u=(4,-1,-3). Esta construção está justificada porque u é ortogonal tanto a n_1 quanto a n_2, logo segue a interseção.
Passo 3
Verificar se as retas são paralelas (caso em que a fórmula da distância entre retas paralelas se aplica). Justificativa: duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro.
O vetor diretor de r é v=(8,-2,-6).
Observa-se que v = 2\cdot(4,-1,-3) = 2u.
Como v é múltiplo escalar de u, concluímos que as retas r e s são paralelas. Justificação final: direções proporcionais implicam paralelismo de retas no espaço.
Passo 4
Encontrar um ponto qualquer sobre [s). Justificativa: para calcular a distância entre retas paralelas basta um ponto de cada reta e o vetor diretor comum (ou proporcional). Já temos A em r; agora escolho um ponto B\in s resolvendo o sistema dos planos.
vou eliminar y\]. Da primeira equação \(y = 1 - x - z. Substituindo na segunda:
2x - (1 - x - z) + 3z = 4
2x -1 + x + z + 3z = 4
3x + 4z = 5 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5-4z}{3}.
Assim y = 1 - x - z = \dfrac{-2+z}{3}. Posso escolher um valor conveniente para z para obter coordenadas simples; escolho z=2. Substituindo:
x = \frac{5-4\cdot 2}{3} = \frac{5-8}{3} = -1,\qquad y = \frac{-2+2}{3}=0.
Logo um ponto em s é B = (-1,0,2). Justifico a escolha de z=2 dizendo que qualquer ponto obtido dessa parametrização pertence a s; escolhi este para facilitar os cálculos (inteiros).]
Passo 5
Fórmula da distância entre duas retas paralelas e justificativa geométrica. Seja A\in r e B\in s e d um vetor diretor comum (aqui podemos usar v de r). A distância entre retas paralelas é a menor distância entre pontos de uma e da outra; geometricamente é a distância entre B e a reta que passa por A com direção v, igual ao comprimento da componente de \overrightarrow{AB} perpendicular a v.
Uma maneira prática e bem conhecida de calcular essa distância é usar o produto vetorial:
porque \|\overrightarrow{AB}\times v\| = \|\overrightarrow{AB}\|\,\|v\|\sin\theta é a área do paralelogramo formado por \overrightarrow{AB} e v, e dividindo por \|v\| fica a altura desse paralelogramo, que é exatamente a distância entre as retas (comprovado pela definição de seno e área).
Passo 6
Calcular \overrightarrow{AB}, o produto vetorial e as normas, com todos os detalhes.
Primeiro \overrightarrow{AB} = A - B. Usando A=(1,2,2) e B=(-1,0,2):
Reduzindo a fração \dfrac{688}{104} por 8 obtém-se \dfrac{86}{13}. Assim
\text{dist}(r,s) = \sqrt{\frac{86}{13}}.
Isso é a forma exata e simplificada da distância. (Se desejar aproximação numérica, \sqrt{86/13}\approx 2{,}573, mas a forma exata é \sqrt{\dfrac{86}{13}}.)