(2,5 pt) Atenção: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica
. O bloco sofre a força de atrito numericamente igual a 6 vezes a velocidade do bloco num dado instante e está sujeito a uma força peri odica externa
. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso e na posição do equilíbrio.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição
do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução deste PVI.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição
(b) Encontre a solução deste PVI.
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
preso a uma mola de constante
, com atrito viscoso proporcional à velocidade
e força externa periódica
. Vamos formular o problema como um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes e, em seguida, resolvê-lo por superposição da solução homogênea e de um particular.
Passo 2
A equação de movimento é, pela segunda lei de Newton,
onde
,
e
. Logo o PVI é
Para a solução homogênea
, resolvemos a equação característica
cuja raiz é
Assim
Passo 3
Procuramos um particular
na forma
Calculamos
Substituindo em
, coletamos coeficientes de
e
:
Isso gera o sistema
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira,
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Impondo
dá
Para
calculamos
. Em
fica
Substituindo
,