(2,5 pt) Atenção: neste problema, todos os valores numéricos são dados no Sistema Internacional (portanto, não é necessário fazer nenhuma conversão de unidades). Um bloco de massa 1 kg desliza sobre um eixo horizontal, preso a uma mola de constante elástica 25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. O bloco sofre a força de atrito numericamente igual a 6 vezes a velocidade do bloco num dado instante e está sujeito a uma força peri odica externa F(t)=3 \cos 2 t. Inicialmente o bloco encontra-se em repouso e na posição do equilíbrio.
(a) Escreva o PVI (equação diferencial e condições iniciais) que descreve a posição x(t) do bloco em função do tempo.
(b) Encontre a solução deste PVI.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa 1\:\mathrm{kg} preso a uma mola de constante 25\:\mathrm{N/m}, com atrito viscoso proporcional à velocidade c=6 e força externa periódica F(t)=3\cos2t. Vamos formular o problema como um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes e, em seguida, resolvê-lo por superposição da solução homogênea e de um particular.

Passo 2

A equação de movimento é, pela segunda lei de Newton,
m\,x'' + c\,x' + k\,x = F(t),
onde m=1, c=6 e k=25. Logo o PVI é
x'' + 6x' + 25x = 3\cos2t, \quad x(0)=0,\quad x'(0)=0.
Para a solução homogênea \,x_h, resolvemos a equação característica
r^2 + 6r + 25 = 0
cuja raiz é
r = -3 \pm 4i.
Assim
x_h(t) = e^{-3t}\bigl(A\cos4t + B\sin4t\bigr).

Passo 3

Procuramos um particular x_p(t) na forma
x_p(t) = C\cos2t + D\sin2t.
Calculamos
x_p' = -2C\sin2t + 2D\cos2t, \quad x_p'' = -4C\cos2t -4D\sin2t.
Substituindo em x''+6x'+25x=3\cos2t, coletamos coeficientes de \cos2t e \sin2t:
(21C+12D)\cos2t +(-12C+21D)\sin2t = 3\cos2t + 0\sin2t.
Isso gera o sistema
21C + 12D = 3, \quad -12C + 21D = 0.
Da segunda equação vem D=\tfrac{12}{21}C=\tfrac{4}{7}C. Substituindo na primeira,
21C + 12\cdot\tfrac{4}{7}C = 3 \;\Longrightarrow\; \frac{195}{7}C = 3 \;\Longrightarrow\; C = \frac{7}{65}, \quad D = \frac{4}{65}.
Portanto
x_p(t) = \frac{7}{65}\cos2t + \frac{4}{65}\sin2t.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = e^{-3t}\bigl(A\cos4t + B\sin4t\bigr) + \frac{7}{65}\cos2t + \frac{4}{65}\sin2t.
Impondo x(0)=0
A + \frac{7}{65} = 0 \;\Longrightarrow\; A = -\frac{7}{65}.
Para x'(0)=0 calculamos x'(t). Em t=0 fica
x'(0) = \bigl[-3A+4B\bigr] + \frac{8}{65} = 0.
Substituindo A=-\tfrac{7}{65},
-3\Bigl(-\tfrac{7}{65}\Bigr) + 4B + \tfrac{8}{65} = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{21}{65} + 4B + \frac{8}{65} = 0 \;\Longrightarrow\; 4B = -\frac{29}{65} \;\Longrightarrow\; B = -\frac{29}{260}.

Resposta

x(t) = e^{-3t}\Bigl(-\tfrac{7}{65}\cos4t \;-\;\tfrac{29}{260}\sin4t\Bigr) \;+\;\frac{7}{65}\cos2t \;+\;\frac{4}{65}\sin2t.

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