(2.5 pt) Cinco ratos, em uma população estável de 500 , são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação de epidemia, segundo a qual a taxa de crescimento da população infectada é proporcional ao produto entre o número de ratos infectados e número de ratos sem a doença (equação logistica). Admitindo que essa teoria seja correta, e sabendo que depois de 2 dias 10 \% dos ratos estão infectados, quanto tempo demora para que 40 \% dos ratos contraia a doença? Se precisar, use que: \ln (1 / 9)=-2; \ln (99)=9 / 2 ; \ln (11)=5 / 2 ; \ln (66)=4.

Passo 1

O enunciado descreve um surto numa população fixa de 500 ratos, onde inicialmente 5 estão infectados e o modelo proposto é o da equação logística, isto é, a taxa de crescimento da fração x(t) de infectados satisfaz
\frac{dx}{dt}=k\,x\,(1 - x),
em que x(t)=\tfrac{I(t)}{500}. Sabemos que em t=2 dias tem-se x(2)=0,10. Queremos achar o tempo t tal que x(t)=0,40.

Passo 2

Para a equação logística \frac{dx}{dt}=k\,x\,(1 - x), a solução geral é
x(t)=\frac{1}{1 + A\,e^{-k t}},
onde a constante A vem da condição inicial x(0).

Passo 3

Na inicial temos I(0)=5, logo x(0)=5/500=1/100. Substituindo em x(0)=1/(1+A)
\frac{1}{1+A}=\frac{1}{100} \quad\Longrightarrow\quad 1+A=100 \quad\Longrightarrow\quad A=99.

Passo 4

Usando agora x(2)=0,10 em
x(2)=\frac{1}{1 + 99\,e^{-2k}}=0,10,
invertendo,
1 + 99\,e^{-2k}=10 \quad\Longrightarrow\quad 99\,e^{-2k}=9 \quad\Longrightarrow\quad e^{-2k}=\frac{9}{99}=\frac{1}{11}.
Logo
-2k=\ln\bigl(1/11\bigr)=-\ln(11) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln(11)}{2}.

Passo 5

Queremos t tal que x(t)=0,40, isto é,
\frac{1}{1 + 99\,e^{-k t}}=0,40 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 99\,e^{-k t}=2{,}5 \quad\Longrightarrow\quad 99\,e^{-k t}=1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad e^{-k t}=\frac{1{,}5}{99}=\frac{1}{66}.
Assim
-k\,t=\ln\bigl(1/66\bigr)=-\ln(66) \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln(66)}{k} =\frac{\ln(66)}{\bigl(\ln(11)/2\bigr)} =\frac{4}{5/4} =\frac{16}{5}=3{,}2\text{ dias}.

Resposta

Oito levanta: para 40\% de ratos infectados são necessários aproximadamente 3{,}2 dias.

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