(2.5 pt) Cinco ratos, em uma população estável de 500 , são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação de epidemia, segundo a qual a taxa de crescimento da população infectada é proporcional ao produto entre o número de ratos infectados e número de ratos sem a doença (equação logistica). Admitindo que essa teoria seja correta, e sabendo que depois de 2 dias
dos ratos estão infectados, quanto tempo demora para que
dos ratos contraia a doença? Se precisar, use que:
;
.
Passo 1
O enunciado descreve um surto numa população fixa de
ratos, onde inicialmente
estão infectados e o modelo proposto é o da equação logística, isto é, a taxa de crescimento da fração
de infectados satisfaz
em que
. Sabemos que em
dias tem-se
. Queremos achar o tempo
tal que
.
Passo 2
Para a equação logística
, a solução geral é
onde a constante
vem da condição inicial
.
Passo 3
Na inicial temos
, logo
. Substituindo em
dá
Passo 4
Usando agora
em
invertendo,
Logo
Passo 5
Queremos
tal que
, isto é,
Assim
Resposta
Oito levanta: para
de ratos infectados são necessários aproximadamente
dias.