(2,5 pt) Resolve a equação diferencial
\left(7 x-1+5 x^{4} y\right) d x-\left(7 y-x^{5}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(7x - 1 + 5x^{4}y)\,dx \;-\;(7y - x^{5})\,dy = 0.
Esse tipo de equação é do tipo exato: existem funções M(x,y) e N(x,y) tais que
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com \partial M/\partial y = \partial N/\partial x. Vamos usar esse critério para encontrar uma função potencial \Psi(x,y) cuja diferencial total se anule.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 7x - 1 + 5x^{4}y, \quad N(x,y) = -(7y - x^{5}) = x^{5} - 7y.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 5x^{4}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 5x^{4}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Psi(x,y) satisfazendo \Psi_x = M. Integramos M em relação a x:
\Psi(x,y) = \int\bigl(7x - 1 + 5x^{4}y\bigr)\,dx = \frac{7}{2}x^{2} - x + x^{5}y + h(y),
onde h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Impondo \Psi_y = N, temos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = x^{5} + h'(y) \stackrel{!}{=} x^{5} - 7y.
Daí h'(y) = -7y, logo
h(y) = -\frac{7}{2}y^{2}.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, a solução geral implícita fica
\Psi(x,y) = \frac{7}{2}x^{2} - x + x^{5}y - \frac{7}{2}y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

\frac{7}{2}x^{2} - x + x^{5}y - \frac{7}{2}y^{2} = C.

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