(2.5 pt) Encontre a solução geral da equação,
y^{\prime \prime}-9 y^{\prime}+18 y=\frac{e^{3 x}}{1+e^{3 x}}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 9y' + 18y = \frac{e^{3x}}{1 + e^{3x}}.
O conteúdo da matéria envolve: (i) resolução da equação homogênea associada por raízes da equação característica, (ii) cálculo de uma solução particular usando o método dos parâmetros variantes e (iii) soma das duas para obter a solução geral.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea
y'' - 9y' + 18y = 0.
A equação característica é
r^2 - 9r + 18 = 0,
cuja raízes são
r = 3 \quad\text{e}\quad r = 6.
Logo a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{6x}.

Passo 3

Para encontrar uma solução particular y_p, aplicamos o método dos parâmetros variantes. Tomamos as soluções fundamentais
y_1 = e^{3x},\quad y_2 = e^{6x},
e calculamos o Wronskiano
W = \begin{vmatrix} e^{3x} & e^{6x} \\\\ 3e^{3x} & 6e^{6x} \end{vmatrix} = 3e^{9x}.
As fórmulas dão
u_1' = -\frac{g(x)\,y_2}{W}, \quad u_2' = \frac{g(x)\,y_1}{W},
onde g(x)=\dfrac{e^{3x}}{1+e^{3x}}.

Passo 4

Calculamos primeiro u_1' e u_1:
u_1' = -\frac{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\;e^{6x}}{3e^{9x}} = -\frac{1}{3(1+e^{3x})},
u_1 = -\frac{1}{3}\int\frac{dx}{1+e^{3x}} =-\frac{1}{9}\int\frac{dt}{t(1+t)} \quad\bigl(t=e^{3x},\,dt=3t\,dx\bigr)
u_1 = -\frac{1}{9}\bigl(\ln t - \ln(1+t)\bigr) = -\frac{x}{3} + \frac{1}{9}\ln\bigl(1+e^{3x}\bigr).

Passo 5

Agora u_2' e u_2:
u_2' = \frac{\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\;e^{3x}}{3e^{9x}} = \frac{1}{3e^{3x}(1+e^{3x})},
u_2 = \frac{1}{3}\int\frac{dx}{e^{3x}(1+e^{3x})} =\frac{1}{9}\int\frac{dt}{t^2(1+t)} \quad\bigl(t=e^{3x}\bigr),
fatorando em frações parciais resulta em
u_2 = \frac{1}{9}\Bigl(-\ln t - \tfrac1t + \ln(1+t)\Bigr) = \frac{1}{9}\Bigl(-3x - e^{-3x} + \ln\bigl(1+e^{3x}\bigr)\Bigr).

Passo 6

A solução particular é
y_p = u_1\,y_1 + u_2\,y_2.
Substituindo y_1, y_2, u_1, u_2 e simplificando, obtemos
y_p = e^{3x}(1+e^{3x})\Bigl(\tfrac{1}{9}\ln(1+e^{3x}) - \tfrac{x}{3}\Bigr) +\underbrace{\text{termos constantes}\times\bigl(e^{3x}+e^{6x}\bigr)}_{\text{absorvíveis em }y_h}.í
Descartamos os termos constantes multiplicando e^{3x} e e^{6x} pois já estão em y_h.

Passo 7

A solução geral da equação original é
y(x) = y_h + y_p = C_1 e^{3x} + C_2 e^{6x} + e^{3x}(1+e^{3x})\Bigl(\tfrac{1}{9}\ln(1+e^{3x}) - \tfrac{x}{3}\Bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{6x} + e^{3x}(1+e^{3x})\Bigl(\tfrac{1}{9}\ln(1+e^{3x}) - \tfrac{x}{3}\Bigr).}

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