O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 9y' + 18y = \frac{e^{3x}}{1 + e^{3x}}.
O conteúdo da matéria envolve: (i) resolução da equação homogênea associada por raízes da equação característica, (ii) cálculo de uma solução particular usando o método dos parâmetros variantes e (iii) soma das duas para obter a solução geral.
Passo 2
Resolvemos primeiro a equação homogênea
y'' - 9y' + 18y = 0.
A equação característica é
r^2 - 9r + 18 = 0,
cuja raízes são
r = 3 \quad\text{e}\quad r = 6.
Logo a solução geral homogênea é
y_h = C_1 e^{3x} + C_2 e^{6x}.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular y_p, aplicamos o método dos parâmetros variantes. Tomamos as soluções fundamentais