Atenção! Para esta questão, utilize o ponto (.) como separador decimal.
Dentro da parede de uma casa, uma seção da tubulação de água quente em forma de L consiste em uma parte horizontal reta de comprimento igual à 32 cm , um cotovelo e uma parte vertical reta de 140 cm de comprimento. Uma estrutura mantém fixas as extremidades dessa seção da tubulação de cobre, cujo coeficiente de expansão linear é igual a 17 times 10^-6 ^circ C^-1. Quando o fluxo da água é ligado, a temperatura da tubulação sobe de 6^circ C para 78^circ C. Como resultado disto, o cotovelo da tubulação passa a ter um ângulo thetaf<90^circ. Determine, em graus, De.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos uma tubulação de água quente em forma de L dentro de uma casa. Essa tubulação tem duas partes: uma horizontal de 32 cm e uma vertical de 140 cm, conectadas por um cotovelo que forma um ângulo de 90°. Quando a água esquenta, a temperatura da tubulação aumenta de 6^circ C para 78^circ C. Como a tubulação está fixa nas extremidades, o aquecimento faz com que o cotovelo mude de ângulo, ficando menor que 90°. Nosso objetivo é descobrir quanto esse ângulo diminuiu, ou seja, encontrar De.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de dilatação térmica linear, que nos ajuda a calcular como os comprimentos dos materiais mudam com a temperatura. As informações que vamos usar são:
  • Comprimentos das partes da tubulação: 32 cm e 140 cm.
  • Coeficiente de dilatação linear do cobre: 17 times 10^-6 , ^circC^-1.
  • Variação de temperatura: 78 - 6 = 72^circC.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto cada parte da tubulação se expande quando a temperatura aumenta. A fórmula para a dilatação linear é:
De
Onde:
  • De é a variação de comprimento.
  • L é o comprimento original.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear.
  • De é a variação de temperatura.
Vamos calcular para cada parte.

Passo 3

Para a parte horizontal (32 cm):
De
De
Para a parte vertical (140 cm):
De
De

Passo 4

Agora, como as extremidades da tubulação estão fixas, essas expansões não vão fazer a tubulação crescer livremente. Em vez disso, elas vão causar uma força que altera o ângulo do cotovelo. Para entender como isso ocorre, vamos considerar que o aumento no comprimento horizontal tende a empurrar o cotovelo para baixo, enquanto o aumento no comprimento vertical tende a empurrar para a direita.

Passo 5

Vamos visualizar isso como se estivéssemos ajustando um triângulo retângulo original (32 cm horizontal, 140 cm vertical, 90° no cotovelo). Com as expansões, os novos comprimentos serão:
  • Horizontal: 32 + De
  • Vertical: 140 + De
Então:
32 + 0.039168 = 32.039168 , cm
140 + 0.17136 = 140.17136 , cm

Passo 6

O novo ângulo thetaf será menor que 90° porque a tubulação está sendo “puxada” nas duas direções devido às expansões. Para encontrar thetaf, podemos usar a tangente do ângulo no triângulo resultante:
tan(thetaf) = parte verticalparte horizontal = 140.1713632.039168
Vamos calcular essa razão:
tan(thetaf) = 140.1713632.039168 approx 4.373

Passo 7

Agora, para encontrar thetaf, precisamos calcular o arco cuja tangente é aproximadamente 4.373. Usando uma calculadora científica:
thetaf = arctan(4.373) approx 77.5^circ

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a variação do ângulo:
De

Resposta

A variação do ângulo é De.

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