Atenção! Para esta questão, utilize o ponto (.) como separador decimal.
Dentro da parede de uma casa, uma seção da tubulação de água quente em forma de L consiste em uma parte horizontal reta de comprimento igual à 32 cm , um cotovelo e uma parte vertical reta de 140 cm de comprimento. Uma estrutura mantém fixas as extremidades dessa seção da tubulação de cobre, cujo coeficiente de expansão linear é igual a
. Quando o fluxo da água é ligado, a temperatura da tubulação sobe de
para
. Como resultado disto, o cotovelo da tubulação passa a ter um ângulo
. Determine, em graus,
.
Dentro da parede de uma casa, uma seção da tubulação de água quente em forma de L consiste em uma parte horizontal reta de comprimento igual à 32 cm , um cotovelo e uma parte vertical reta de 140 cm de comprimento. Uma estrutura mantém fixas as extremidades dessa seção da tubulação de cobre, cujo coeficiente de expansão linear é igual a
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo! Temos uma tubulação de água quente em forma de L dentro de uma casa. Essa tubulação tem duas partes: uma horizontal de 32 cm e uma vertical de 140 cm, conectadas por um cotovelo que forma um ângulo de 90°. Quando a água esquenta, a temperatura da tubulação aumenta de
para
. Como a tubulação está fixa nas extremidades, o aquecimento faz com que o cotovelo mude de ângulo, ficando menor que 90°. Nosso objetivo é descobrir quanto esse ângulo diminuiu, ou seja, encontrar
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de dilatação térmica linear, que nos ajuda a calcular como os comprimentos dos materiais mudam com a temperatura. As informações que vamos usar são:
- Comprimentos das partes da tubulação: 32 cm e 140 cm.
- Coeficiente de dilatação linear do cobre:
. - Variação de temperatura:
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto cada parte da tubulação se expande quando a temperatura aumenta. A fórmula para a dilatação linear é:
Onde:
-
é a variação de comprimento. -
é o comprimento original. -
é o coeficiente de dilatação linear. -
é a variação de temperatura.
Vamos calcular para cada parte.
Passo 3
Para a parte horizontal (32 cm):
Para a parte vertical (140 cm):
Passo 4
Agora, como as extremidades da tubulação estão fixas, essas expansões não vão fazer a tubulação crescer livremente. Em vez disso, elas vão causar uma força que altera o ângulo do cotovelo. Para entender como isso ocorre, vamos considerar que o aumento no comprimento horizontal tende a empurrar o cotovelo para baixo, enquanto o aumento no comprimento vertical tende a empurrar para a direita.
Passo 5
Vamos visualizar isso como se estivéssemos ajustando um triângulo retângulo original (32 cm horizontal, 140 cm vertical, 90° no cotovelo). Com as expansões, os novos comprimentos serão:
- Horizontal:
- Vertical:
Então:
Passo 6
O novo ângulo
será menor que 90° porque a tubulação está sendo “puxada” nas duas direções devido às expansões. Para encontrar
, podemos usar a tangente do ângulo no triângulo resultante:
Vamos calcular essa razão:
Passo 7
Agora, para encontrar
, precisamos calcular o arco cuja tangente é aproximadamente 4.373. Usando uma calculadora científica:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a variação do ângulo:
Resposta
A variação do ângulo é
.